多项式、根与域扩张

$F[x]$ 环的基本定义

设 $F$ 是一个域 (Field)。

定义：多项式 (Polynomial)

环 $F[x]$ 中的一个多项式 $f(x)$ 定义为：

$$f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$$

其中 $a_i \in F$。

• $a_n$ (当 $a_n \neq 0$) 称为最高次项系数 (leading coefficient)。
• $a_0$ 称为常数项 (constant term)。
• $n$ 称为多项式的次数 (degree)，记为 $deg(f) = n$。
• 零多项式 $f(x) = 0$ (即所有 $a_i = 0$)，其次数约定为 $deg(0) = -\infty$。

多项式次数的性质

对于 $f, g \in F[x]$：

1. $deg(f \cdot g) = deg(f) + deg(g)$
2. $deg(f + g) \le \max(deg(f), deg(g))$
   • 注： 当 $deg(f) \neq deg(g)$ 时，等号成立。当 $deg(f) = deg(g)$ 且最高次项系数相反时，次数会降低。

$F[x]$ 环的整除结构

$F[x]$ 是一个欧几里得整环，因此它也是一个主理想整环 (PID) 和唯一分解整环 (UFD)。

单位 (Units)：$F[x]$ 环中的单位是 $F^*$，即所有非零的常数多项式。

定义：不可约多项式 (Irreducible Polynomial)

一个非常数多项式 $f \in F[x]$ 称为不可约的，如果 $f = g \cdot h$，则 $g$ 或 $h$ 必为一个单位。

• 例如，任何一次多项式 $x - a$ 都是不可约的。

最大公因式 (GCD) 与理想

定义：GCD

对于 $f(x), g(x) \in F[x]$，其最大公因式 $d(x) = gcd(f, g)$ 是一个首1 (monic) 多项式，满足：

1. $d(x) \mid f(x)$ 且 $d(x) \mid g(x)$
2. 如果 $e(x) \mid f(x)$ 且 $e(x) \mid g(x)$，则 $e(x) \mid d(x)$

如果 $gcd(f, g) = 1$，称 $f$ 和 $g$ 互素。

在主理想整环 $F[x]$ 中，由 $f$ 和 $g$ 生成的理想 $\langle f, g \rangle$ 等于由它们的 GCD 生成的主理想：

$$\langle f, g \rangle = \{ f \cdot a + g \cdot b \mid a, b \in F[x] \} = \langle gcd(f, g) \rangle$$

定理：GCD 的域无关性

设 $F \subset E$ 均为域， $f, g \in F[x]$。则在 $F[x]$ 中计算的 $gcd(f, g)$ 与在 $E[x]$ 中计算的 $gcd(f, g)$ 是相同的。

证明：

• 考虑 $K<L$ 两个域，以及 $f(x), g(x) \in K[x] \subseteq L[x]$
• $f, g$ 在 $K$ 中生成的理想记为 $I_K = \langle f,g \rangle_{K} = f\cdot K[x] + g\cdot K[x] = \langle r_k(x) \rangle_{K}$
• 同时根据主理想整环的性质，在 $K[x]$ 上有 $r_K = \operatorname{gcd}(f, g)$
• 同理，在 $L$ 上有 $I_{L} = \langle f,g \rangle_{L}=\langle r_{L}(x) \rangle_{L}$，以及 $r_{L} = \operatorname{gcd}(f,g)$
• 在 $L[x]$ 上考虑，因为 $f, g \in \langle r_{L} \rangle \Rightarrow r_{K} \in \langle r_{L} \rangle$
• 所以 $r_{L} \mid r_{K}$
• 继续在 $L[x]$ 上考虑，由于 $r_{K}$ 是 $f, g$ 的公约数，而 $r_{L}$ 是最大公约数
• 所以 $r_{K} \mid r_{L}$
• 令两者都是首一多项式，有 $r_{K} = r_{L}$
• 因此 $\operatorname{gcd}(f, g)$ 无论在哪个域上都一样

推论：

• $f, g \in F[x]$ 在 $F[x]$ 上有非常数公因子，当且仅当 $f, g$ 在 $E[x]$ 上有非常数公因子。
• $f,g$ 在 $F[x]$ 上互素 $\iff$ $f,g$ 在 $E[x]$ 上互素。

多项式的根 (Roots)

定义：根 (Root)

设 $f(x) \in F[x]$，$a \in F$。如果 $f(a) = \sum a_i a^i = 0$，则称 $a$ 是 $f(x)$ 的一个根或零点。

多项式 vs. 多项式函数

一个多项式 $f(x) \in F[x]$ 可以定义一个多项式函数 $f: F \to F$。

• $f(x) = 0$ (零多项式) $\implies$ $f$ 是零函数 (即 $f(a) = 0, \forall a \in F$)。
• 反之不然。
• 例： 在 $F_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上，考虑 $f(x) = x^p - x$。根据费马小定理，对任意 $a \in F_p$，$a^p - a \equiv 0 \pmod p$，所以 $f(a) = 0$。因此 $f$ 是零函数，但 $f(x)$ 并不是零多项式。

根与因式分解

定理：因式定理 (Factor Theorem)

$a \in F$ 是 $f(x) \in F[x]$ 的一个根，当且仅当 $(x-a) \mid f(x)$。

• 证明：
  • ($\Leftarrow$)：如果 $f(x) = (x-a)q(x)$，则 $f(a) = (a-a)q(a) = 0$。
  • ($\Rightarrow$)：根据带余除法， $f(x) = q(x)(x-a) + r(x)$，其中 $deg(r) < deg(x-a) = 1$。
  • 因此 $r(x) = r$ 是一个常数。
  • 代入 $x=a$：$f(a) = q(a)(a-a) + r \implies f(a) = r$。
  • 已知 $a$ 是根，所以 $f(a) = 0$，故 $r = 0$。
  • 因此 $f(x) = q(x)(x-a)$，即 $(x-a) \mid f(x)$。

命题：根的个数

一个非零多项式 $f(x) \in F[x]$ 且 $deg(f) = n$，则 $f(x)$ 在 $F$ 中至多有 $n$ 个根。

• 证明（归纳法）：
  • $n=1$：$f(x) = ax+b$ ($a \neq 0$)。有唯一根 $x = -b/a$。
  • 假设 $deg(g) = k$ 的多项式至多有 $k$ 个根。
  • 考虑 $deg(f) = k+1$。如果 $f$ 在 $F$ 中没有根，则 $0 \le k+1$，成立。
  • 如果 $f$ 有一个根 $a \in F$，则 $f(x) = (x-a)q(x)$，其中 $deg(q) = k$。
  • $f$ 的任何其他异于 $a$ 的根 $\beta$ 必须满足 $f(\beta) = (\beta-a)q(\beta) = 0$。
  • 由于 $\beta-a \neq 0$，必有 $q(\beta) = 0$，即 $\beta$ 也是 $q(x)$ 的根。
  • 根据归纳假设，$q(x)$ 至多有 $k$ 个根。
  • 因此，$f(x)$ 至多有 $k$ (来自 $q$) + $1$ (来自 $a$) = $k+1$ 个根。

推论：

如果 $f(x) \in F[x]$ 满足 $deg(f) \le n$，但 $f(x)$ 在 $F$ 中有多于 $n$ 个根，则 $f(x)$ 必为零多项式。

根与域扩张

定理 (Kronecker):

设 $f(x) \in F[x]$ 是一个非常数多项式。存在 $F$ 的一个域扩张 $E$ (即 $F \subset E$)，使得 $f(x)$ 在 $E$ 中有一个根。

• 证明思路 (当 $f(x)$ 不可约时):
  1. 由于 $f(x)$ 不可约，$F[x]$ 是 PID，所以理想 $\langle f(x) \rangle$ 是一个极大理想。
  2. 因此，商环 $E = F[x] / \langle f(x) \rangle$ 是一个域。
  3. $F$ 可以通过 $a \mapsto a + \langle f(x) \rangle$ 自然地嵌入到 $E$ 中（可以证明这个映射是单射），所以 $E$ 是 $F$ 的扩张。
  4. 考虑到 $E$ 中包含的实际是 $F$ 的同构而非 $F$，因此改写 $f: F \to F$ 为 $\bar{f}: E \to E$ 以示区别
  5. 令 $\alpha = \bar{x} = x + \langle f(x) \rangle \in E$。(这里的 $x$ 指的是 $F[x]$ 中的一个特定的元素)
  6. 在 $E$ 中计算 $\bar{f}(\alpha)$：

     $$\begin{aligned} \bar{f}(\alpha) &= \sum_{i=0}^{n} \overline{a}_i \bar{x}^{i} = \sum_{i=0}^{n} \overline{a_i} \cdot \overline{x^{i}} = \sum_{i=0}^{n} \overline{a_i x^{i}} \\ &= \overline{\sum_{i=0}^{n} a_i x^{i}} = \bar{f} = \langle f \rangle = \bar{0} \\ \end{aligned}$$

  7. $E$ 包含 $f(x)$ 的一个根 $\alpha$。

分裂域 (Splitting Field):

通过重复应用上述定理，我们可以构造一个域 $E$，使得 $f(x)$ 在 $E[x]$ 中可以被分解为一次因子的乘积：

$$f(x) = c(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\dots(x-\alpha_n)$$

其中 $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in E$。
包含 $f(x)$ 所有根的最小扩张域 $E = F(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ 称为 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域。

极小多项式 (Minimal Polynomial)

定义：代数元 (Algebraic Element)

设 $F \subset E$，$a \in E$。如果存在一个非零多项式 $p(x) \in F[x]$ 使得 $p(a) = 0$，则称 $a$ 是 $F$ 上的代数元；否则称 $a$ 在 $F$ 上超越。

• 在 $\mathbb{Q} \subset \mathbb{C}$ 中，$\mathbb{Q}$ 上的代数元称为代数数 (Algebraic Number)。例如 $i$ ( $x^2+1=0$ ) 和 $\sqrt{2}$ ( $x^2-2=0$ )。

定义：极小多项式 (Minimal Polynomial)

设 $a$ 是 $F$ 上的代数元。$a$ 在 $F$ 上的极小多项式，记为 $min(a, F)$，是 $F[x]$ 中满足 $p(a) = 0$ 的唯一、首1、最低次的多项式。

• 例如：$min(\sqrt{2}, \mathbb{Q}) = x^2 - 2$。

极小多项式的性质

令 $p(x) = min(a, F)$。

1. $p(x)$ 在 $F[x]$ 上是不可约的。
2. 对于任意 $g(x) \in F[x]$， $g(a) = 0 \iff p(x) \mid g(x)$。

• 证明 (1):
  • 假设 $p(x) = g(x)h(x)$，其中 $deg(g) < deg(p)$ 且 $deg(h) < deg(p)$。
  • $p(a) = g(a)h(a) = 0$。由于 $E$ 是一个域（至少是整环），则 $g(a) = 0$ 或 $h(a) = 0$。
  • 这与 $p(x)$ 是 $a$ 的最低次多项式相矛盾。
• 证明 (2):
  • ($\Leftarrow$)：若 $g(x) = q(x)p(x)$，则 $g(a) = q(a)p(a) = q(a) \cdot 0 = 0$。
  • ($\Rightarrow$)：若 $g(a) = 0$，用 $g(x)$ 除以 $p(x)$：
    $g(x) = q(x)p(x) + r(x)$，其中 $deg(r) < deg(p)$ 或 $r(x) = 0$。
  • 代入 $a$：$g(a) = q(a)p(a) + r(a) \implies 0 = 0 + r(a)$。
  • $r(a) = 0$。由于 $deg(r) < deg(p)$，根据 $p$ 的最低次性， $r(x)$ 必须是零多项式。
  • 因此 $g(x) = q(x)p(x)$，即 $p(x) \mid g(x)$。

重根与可分性 (Multiple Roots & Separability)

定义：根的重数 (Multiplicity)

称 $a$ 是 $f(x)$ 的 $m$ 重根，如果 $(x-a)^m \mid f(x)$ 但 $(x-a)^{m+1} \nmid f(x)$。

• $m=1$：单根 (Simple root)。
• $m > 1$：重根 (Multiple root)。

形式导数 (Formal Derivative)

定义：形式导数

对于 $f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$，其形式导数 $f'(x)$ 定义为：

$$f'(x) = \sum_{i=1}^{n} (i \cdot a_i) x^{i-1}$$

注： $i \cdot a_i$ 指的是 $a_i$ 连加 $i$ 次。

求导性质：（与微积分中相同）

1. $(f + g)' = f' + g'$
2. $(c f)' = c f'$ (c 为常数)
3. $(f g)' = f' g + f g'$ (乘法法则)

定理：重根判别法

$a$ 是 $f(x)$ 的重根，当且仅当 $f(a) = 0$ 且 $f'(a) = 0$。

• 证明：
  • ($\Rightarrow$)：设 $a$ 为 $m$ 重根，$m \ge 2$。
    $f(x) = (x-a)^m q(x)$。
    $f(a)=0$ 显然成立。
    $f'(x) = m(x-a)^{m-1}q(x) + (x-a)^m q'(x)$。
    由于 $m \ge 2$，$m-1 \ge 1$，所以 $f'(x)$ 的两项都含有 $(x-a)$ 因子。
    因此 $f'(a) = 0$。
  • ($\Leftarrow$)：已知 $f(a) = 0$。由因式定理，$f(x) = (x-a)q(x)$。
    $f'(x) = q(x) + (x-a)q'(x)$。
    已知 $f'(a) = 0$，代入得 $f'(a) = q(a) + (a-a)q'(a) = q(a)$。
    所以 $q(a) = 0$。
    再次应用因式定理，$q(x) = (x-a)r(x)$。
    代回原式：$f(x) = (x-a)q(x) = (x-a)^2 r(x)$。
    因此 $a$ 至少是 $f(x)$ 的 2 重根。

推论： $f(x)$ 有重根 $\iff gcd(f, f') \neq 1$。

说明：有重根时，假如某个重根为 $a$，不难发现 $f$ 与 $f'$ 的公因子包含 $x-a$。

可分多项式 (Separable Polynomials)

定义：可分多项式

一个不可约多项式 $f(x) \in F[x]$ 称为可分的 (separable)，如果它在分裂域中没有重根。否则称为不可分的 (inseparable)。

定理：可分性判别法

一个不可约多项式 $f(x)$ 是不可分的 $\iff f'(x) = 0$ (零多项式)。

• 证明：
  • ($\Rightarrow$)：$f$ 不可分 $\implies f$ 有重根 $a$。
    $\implies f(a) = 0$ 且 $f'(a) = 0$。
    $\implies f(x)$ 是 $a$ 的极小多项式（因为 $f$ 不可约）。
    $\implies f(x) \mid f'(x)$ （根据极小多项式性质 2）。
    但 $deg(f') < deg(f)$ (除非 $f$ 是常数，但这与 $f$ 不可约矛盾)。
    唯一的可能是 $f'(x)$ 必须是零多项式。
  • ($\Leftarrow$)：$f'(x) = 0$。
    $\implies gcd(f, f') = gcd(f, 0) = f(x)$。
    $\implies gcd(f, f') \neq 1$ (因为 $f$ 不可约，不是常数 1)。
    $\implies f(x)$ 有重根，因此 $f$ 是不可分的。

何时 $f'(x) = 0$？

$f'(x) = \sum i a_i x^{i-1} = 0$ 意味着所有系数 $i \cdot a_i = 0$。

1. 若 $char(F) = 0$ (如 $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$):
   $i \cdot a_i = 0 \implies a_i = 0$ (对于 $i \ge 1$)。
   这意味着 $f(x)$ 必须是一个常数。但这与 $f(x)$ 不可约相矛盾。

推论：特征 $0$ 域（即 $char(F)=0$）上的所有不可约多项式 $f$ 都是可分的。

2. 若 $char(F) = p > 0$ (如 $F_p$):
   $i \cdot a_i = 0 \implies p \mid i$ 或 $a_i = 0$。
   这意味着 $f(x)$ 的所有非零项 $a_i x^i$ 都必须满足 $p \mid i$。
   因此 $f(x)$ 是一个 $x^p$ 的多项式，即 $f(x) = g(x^p)$。

   • 如果 $F$ 是有限域，可以证明 $p$ 为素数且 $F^{*}$ 在乘法上为循环群。但是由于对于 $\forall b\in F, \exists c \text{ s.t } b = c^{p}$，使得 $g(x^{p})$ 总可以写成 $\left[ h(x) \right]^{p}$ 的形式，与 $f(x)$ 不可约矛盾。因此这种情况下 $f(x)$ 可分。

   • 如果 $F$ 是无限域，那么就存在 $f(x)$ 不可分的情形。考虑:

     $$F_2(t) = \left\{ \frac{f(t)}{g(t)} | g(t)\neq 0 \right\}, \quad F_2(t^{2}) = \left\{ \frac{f(t^{2})}{g(t^{2})} | g(t^{2})\neq 0 \right\}$$

     这两个无限域满足 $F_2(t^{2})<F_2(t)$。在无限域 $F_2(t^{2})$ 上考虑多项式环 $F_2(t)[x]$，其中某个不可约多项式 $f(x)$ 为 $x^{2} - t^{2}$；但是在扩域 $F_2(t)$ 中，$x^{2} - t^{2} = (x-t)^{2}$，存在重根。因此在这个例子中，$f(x)$ 可分。

综上讨论，其实可以发现，在大多数情况下，不可约多项式都是不可分的。