有限扩张 (Finite Extension)

定义：有限扩张 (Finite Extension)
设 F⊂EF \subset E 是一个域扩张。如果 EE 作为 FF 上的线性空间（向量空间）的维数是有限的，即 [E:F]<∞[E:F] < \infty 则称 EE 是 FF 的有限扩张。

维数 [E:F][E:F] 称为该扩张的次数。

定理：有限扩张的等价描述
F⊂EF \subset E 是有限扩张，当且仅当 EE 是由 FF 添加有限个代数元生成的。

也就是说，[E:F]<∞[E:F] < \infty   ⟺  \iff 存在 α1,…,αn∈E\alpha_1, \dots, \alpha_n \in E（均在 FF 上代数）使得 E=F(α1,…,αn)E = F(\alpha_1, \dots, \alpha_n)。

证明：

(1)   ⟹  \implies (“有限扩张”   ⟹  \implies “由有限个代数元生成”)

  • 设 [E:F]=m<∞[E:F] = m < \infty。我们需要证明 EE 中的每个元素 α\alpha 都是 FF 上的代数元。
  • 考察 EE 中的 m+1m+1 个元素：{1,α,α2,…,αm}\{1, \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^m\}。
  • 由于 EE 作为 FF-线性空间的维数是 mm，这 m+1m+1 个元素必然在 FF 上线性相关 。
  • 因此，存在不全为 0 的 c0,c1,…,cm∈Fc_0, c_1, \dots, c_m \in F，使得 c0⋅1+c1α+⋯+cmαm=0c_0 \cdot 1 + c_1 \alpha + \dots + c_m \alpha^m = 0。
  • 令 p(x)=c0+c1x+⋯+cmxm∈F[x]p(x) = c_0 + c_1 x + \dots + c_m x^m \in F[x]。p(x)p(x) 是一个非零多项式，且 p(α)=0p(\alpha) = 0。
  • 故 α\alpha 是 FF 上的代数元 。
  • 由于 EE 的维数是有限的，我们可以取 EE 的一组 FF-基 {α1,…,αm}\{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}。显然 E=F(α1,…,αm)E = F(\alpha_1, \dots, \alpha_m)，且我们已经证明了它们都是代数元。

(2)   ⟸  \impliedby (“由有限个代数元生成”   ⟹  \implies “有限扩张”)

  • 设 E=F(α1,…,αn)E = F(\alpha_1, \dots, \alpha_n)，其中每个 αi\alpha_i 在 FF 上代数。
  • 我们考虑一个域扩张塔：

    F⊂F(α1)⊂F(α1,α2)⊂⋯⊂F(α1,…,αn)=EF \subset F(\alpha_1) \subset F(\alpha_1, \alpha_2) \subset \dots \subset F(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = E

  • 对于第一步 F⊂F(α1)F \subset F(\alpha_1)：由于 α1\alpha_1 在 FF 上代数，它有一个最小多项式 p1(x)∈F[x]p_1(x) \in F[x]，设其次数为 d1d_1。我们知道 [F(α1):F]=d1<∞[F(\alpha_1):F] = d_1 < \infty。
  • 对于下一步 F(α1)⊂F(α1,α2)F(\alpha_1) \subset F(\alpha_1, \alpha_2)：α2\alpha_2 在 FF 上代数，所以它必然在 F(α1)F(\alpha_1) 上代数（其在 FF 上的最小多项式 p2(x)∈F[x]p_2(x) \in F[x] 也可以看作 F(α1)[x]F(\alpha_1)[x] 中的多项式）。设 α2\alpha_2 在 F(α1)F(\alpha_1) 上的最小多项式次数为 d2d_2，则 [F(α1,α2):F(α1)]=d2≤deg⁡(p2(x))<∞[F(\alpha_1, \alpha_2):F(\alpha_1)] = d_2 \le \deg(p_2(x)) < \infty。
  • 以此类推，每一步 F(α1,…,αi−1)⊂F(α1,…,αi)F(\alpha_1, \dots, \alpha_{i-1}) \subset F(\alpha_1, \dots, \alpha_i) 都是有限扩张。
  • 根据域扩张的次数乘法公式（Tower Law）：

    [E:F]=[F(α1,…,αn):F]=∏i=1n[F(α1,…,αi):F(α1,…,αi−1)][E:F] = [F(\alpha_1, \dots, \alpha_n):F] = \prod_{i=1}^n [F(\alpha_1, \dots, \alpha_i) : F(\alpha_1, \dots, \alpha_{i-1})]

  • 由于每一步的次数 [F(…,αi):F(…,αi−1)]=di<∞[F(\dots, \alpha_i) : F(\dots, \alpha_{i-1})] = d_i < \infty，它们的乘积 [E:F][E:F] 也是有限的。
  • 因此，F⊂EF \subset E 是有限扩张。

代数扩张 (Algebraic Extension)

定义：代数扩张 (Algebraic Extension)
设 F⊂EF \subset E 是一个域扩张。如果 EE 中的每个元素 α∈E\alpha \in E 都是 FF 上的代数元（即，存在非零多项式 p(x)∈F[x]p(x) \in F[x] 使得 p(α)=0p(\alpha) = 0），则称 EE 是 FF 的代数扩张；反之称为超越扩张。

由上一节的证明可知，任何有限扩张都是代数扩张。

定理：FF 在 EE 中的代数闭包 (Algebraic Closure of FF in EE)
设 F⊂EF \subset E 是一个域扩张。令 KK 为 EE 中所有在 FF 上代数元的集合：

K={α∈E∣α 在 F 上代数}K = \{\alpha \in E \mid \alpha \text{ 在 } F \text{ 上代数} \}

KK 是 EE 的一个子域，称为 FF 在 EE 中的代数闭包 (The algebraic closure of FF in EE) 。

证明：

  • 要证明 KK 是一个域，我们需要证明 KK 对加、减、乘、除（除数非零）运算封闭 。
  • 设 α,β∈K\alpha, \beta \in K（α,β\alpha, \beta 都在 FF 上代数）。
  • 考虑域 F(α,β)F(\alpha, \beta)。因为 α,β\alpha, \beta 是 FF 上的代数元，根据上一节的定理， F⊂F(α,β)F \subset F(\alpha, \beta) 是一个有限扩张。
  • 因为有限扩张必为代数扩张，所以 F(α,β)F(\alpha, \beta) 中的所有元素都在 FF 上代数。
  • 由于 α,β∈F(α,β)\alpha, \beta \in F(\alpha, \beta)，所以 α±β\alpha \pm \beta，αβ\alpha\beta 都在 F(α,β)F(\alpha, \beta) 中。
  • 如果 β≠0\beta \neq 0，则 β−1\beta^{-1} 也（在 F(β)F(\beta) 中，从而）在 F(α,β)F(\alpha, \beta) 中，因此 αβ−1\alpha\beta^{-1} 也在 F(α,β)F(\alpha, \beta) 中。
  • 所以 α±β\alpha \pm \beta, αβ\alpha\beta, αβ−1\alpha\beta^{-1} 都在 FF 上代数。
  • 根据 KK 的定义，α±β\alpha \pm \beta, αβ\alpha\beta, αβ−1\alpha\beta^{-1} 都在 KK 中。
  • 故 KK 是一个域。

注：代数扩张不一定是有限扩张

  • 考虑 F=QF = \mathbb{Q}。
  • 对于任意 n>0n > 0，多项式 f(x)=xn−pf(x) = x^n - p（pp 为素数）在 Q\mathbb{Q} 上是不可约的（根据高斯引理和艾森斯坦判别法） 。
  • 设 αn=pn\alpha_n = \sqrt[n]{p} 是它的一个根。则 [Q(αn):Q]=n[\mathbb{Q}(\alpha_n) : \mathbb{Q}] = n。
  • 现在考虑 K=Q(2,23,24,… )K = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{2}, \dots)。
  • 这是一个代数扩张（由定义，它由代数元生成），但它的次数 [K:Q][K:\mathbb{Q}] 必须能被任意 nn 整除，因此 [K:Q]=∞[K:\mathbb{Q}] = \infty。
  • 另一个例子是 Q\mathbb{Q} 在 C\mathbb{C} 中的代数闭包 Q‾\overline{\mathbb{Q}}（所有代数数的集合），[Q‾:Q][\overline{\mathbb{Q}}:\mathbb{Q}] 是无限的 。

代数闭域 (Algebraically Closed Field)

定义：代数闭域 (Algebraically Closed Field)
一个域 EE 称为代数闭的 (Algebraically Closed)，如果 E[x]E[x] 中的任何非常数多项式 f(x)∈E[x]f(x) \in E[x] 都在 EE 中有根。
这等价于说，E[x]E[x] 中的任何多项式 f(x)f(x) 都在 EE 中分裂（Splits），即可以分解为一次因子的乘积。

例如：复数域 C\mathbb{C} 是代数闭的（代数基本定理）。

定理：Emil Artin 定理
对于任意的域 FF，∃E>F\exists E>F，且 EE 是代数闭的。

这个定理说明对于任意的域，总能找到代数闭的扩域。

定义：FF 的代数闭包 (Algebraic Closure of FF)
设 F⊂EF \subset E 是一个域扩张。EE 称为 FF 的一个代数闭包 (Algebraic Closure)，如果：

  1. F⊂EF \subset E 是一个代数扩张 。
  2. EE 本身是一个代数闭域 。
    我们通常记 FF 的代数闭包为 F‾\overline{F}。

定理：代数闭包的存在性与唯一性（在 EE 中）
设 F⊂EF \subset E 且 EE 是一个代数闭域。
令 AA 为 FF 在 EE 中的代数闭包（即 EE 中所有在 FF 上代数的元素集合）。
那么 AA 是 FF 的一个代数闭包 。

证明：

  • 根据 AA 的定义（FF 在 EE 中的代数闭包），F⊂AF \subset A 自动是代数扩张。
  • 我们只需证明 AA 本身是代数闭的。
  • 设 f(x)∈A[x]f(x) \in A[x] 是一个非常数多项式， f(x)=∑i=0naixif(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i，其中 ai∈Aa_i \in A 。
  • 因为 EE 是代数闭的，所以 f(x)f(x) 在 EE 中有根。设 f(x)f(x) 在 EE 中分裂为 f(x)=c(x−α1)…(x−αn)f(x) = c(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)，其中 αi∈E\alpha_i \in E 。
  • 我们想证明：αi∈A\alpha_i \in A。
  • 考虑域 F(a0,a1,…,an)F(a_0, a_1, \dots, a_n)。因为 ai∈Aa_i \in A，所以每个 aia_i 都在 FF 上代数。
  • F(a0,…,an)F(a_0, \dots, a_n) 是 FF 的有限扩张（因为由有限个代数元生成），因此 F⊂F(a0,…,an)F \subset F(a_0, \dots, a_n) 是代数扩张 。
  • f(x)f(x) 的根 αi\alpha_i 都在 F(a0,…,an)F(a_0, \dots, a_n) 上代数（因为 αi\alpha_i 是 F(a0,…,an)[x]F(a_0, \dots, a_n)[x] 中多项式 f(x)f(x) 的根）。
  • 我们有域扩张塔：F⊂F(a0,…,an)⊂F(a0,…,an,αi)F \subset F(a_0, \dots, a_n) \subset F(a_0, \dots, a_n, \alpha_i)。
  • 由于 F⊂F(a0,…,an)F \subset F(a_0, \dots, a_n) 是代数扩张，且 F(a0,…,an)⊂F(a0,…,an,αi)F(a_0, \dots, a_n) \subset F(a_0, \dots, a_n, \alpha_i) 也是代数扩张（因为 αi\alpha_i 在 F(a0,…,an)F(a_0, \dots, a_n) 上代数）。
  • 根据代数扩张的传递性（F⊂K⊂EF \subset K \subset E，若 F⊂KF \subset K 和 K⊂EK \subset E 都是代数扩张，则 F⊂EF \subset E 也是代数扩张），我们得到 F⊂F(a0,…,an,αi)F \subset F(a_0, \dots, a_n, \alpha_i) 是代数扩张。
    • 或者这一步也可以直接利用扩度塔说明 [F(a0,…,an,αi):F]<∞[F(a_0, \dots, a_n, \alpha_i): F] < \infty，所以是代数扩张。
  • 这意味着 αi\alpha_i 在 FF 上是代数元。
  • 根据 AA 的定义（EE 中所有在 FF 上代数元的集合），我们有 αi∈A\alpha_i \in A 。
  • 因此，f(x)f(x) 在 AA 中分裂。AA 是代数闭的。

这个定理证明了代数闭包总是存在的（因为 Emil Artin 定理说明了包含 FF 的代数闭域 EE 总是存在，例如 C\mathbb{C} 之于 Q\mathbb{Q}） 。

分裂域 (Splitting Field)

定义：(单个)多项式的分裂域 (Splitting Field of a Polynomial)
设 f(x)∈F[x]f(x) \in F[x] 是一个 n≥1n \ge 1 次的多项式。FF 的一个扩张 EE 称为 f(x)f(x) 在 FF 上的分裂域，如果：

  1. f(x)f(x) 在 E[x]E[x] 中可以分解为一次因子的乘积：f(x)=c(x−α1)…(x−αn)f(x) = c(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)，其中 αi∈E\alpha_i \in E 。
  2. E=F(α1,…,αn)E = F(\alpha_1, \dots, \alpha_n) 。

（条件1保证 ff 分裂；条件2保证 EE 是包含 FF 和 ff 所有根的最小的域）。

定义：(一族)多项式的分裂域 (Splitting Field of a Family of Polynomials)
设 F={fi(x)}i∈I\mathcal{F} = \{f_i(x)\}_{i \in I} 是 F[x]F[x] 中一族（一个集合，可以是有限或无限个）多项式 。FF 的一个扩张 EE 称为 F\mathcal{F} 在 FF 上的分裂域，如果：

  1. 对于 F\mathcal{F} 中的每一个多项式 fi(x)f_i(x)，它都在 E[x]E[x] 中完全分裂 。
  2. 如果 XX 是 F\mathcal{F} 中所有多项式在 EE 中的所有根的集合，那么 E=F(X)E = F(X) 。

（即 EE 是 FF 添加了 F\mathcal{F} 中所有多项式的所有根之后生成的最小的域）。

存在性：分裂域总是存在的。
证明（概要）：

  • 我们已知 FF 存在一个代数闭包 F‾\overline{F} 。
  • 考虑 F⊂F[x]⊂F‾[x]\mathcal{F} \subset F[x] \subset \overline{F}[x]。
  • 由于 F‾\overline{F} 是代数闭的，F\mathcal{F} 中的每一个多项式 fi(x)f_i(x) 都在 F‾\overline{F} 中分裂。
  • 令 XX 为 F\mathcal{F} 中所有多项式在 F‾\overline{F} 中的所有根的集合 X=⋃i∈I{roots of fi(x) in F‾}X = \bigcup_{i \in I} \{\text{roots of } f_i(x) \text{ in } \overline{F}\} 。
  • 令 E=F(X)E = F(X) 。
  • EE 是 F‾\overline{F} 的一个子域。在 EE 中，F\mathcal{F} 的所有多项式都分裂了（条件1），且 EE 由 F\mathcal{F} 的所有根生成（条件2）。
  • 因此 EE 是 F\mathcal{F} 在 FF 上的一个分裂域。

嵌入 (Embedding) 与延展(Extension)

定义：嵌入 (Embedding) / 同态 (Homomorphism)
设 φ:F→E\varphi: F \to E 是一个环同态。
FF 是一个域，其理想 (Ideal) 只有 {0}\{0\} 和 FF。
ker⁡(φ)\ker(\varphi) 是 FF 的一个理想。

  • 如果 ker⁡(φ)=F\ker(\varphi) = F，则 φ\varphi 是零映射（φ(x)=0E\varphi(x) = 0_E）。
  • 如果 ker⁡(φ)={0}\ker(\varphi) = \{0\}，则 φ\varphi 是单射（injective）。

我们只考虑非平凡的同态，此时 φ\varphi 必然是单射，称为 FF 到 EE 的一个嵌入 (Embedding)，记作 F↪EF \hookrightarrow E。

嵌入的记号 (Notation)

  1. 限制 (Restriction): 设 σ:E→L\sigma: E \to L 是一个嵌入， C⊆EC \subseteq E 是一个子集。σ\sigma 在 CC 上的限制函数记为 σ∣C\sigma|_C。
  2. 对多项式的作用 (Action on Polynomials):
    一个嵌入 σ:F→L\sigma: F \to L 可以自然地诱导一个环同态 σ:F[x]→L[x]\sigma: F[x] \to L[x]，定义为：
    若 f(x)=∑aixi∈F[x]f(x) = \sum a_i x^i \in F[x]，则
    (σf)(x)=∑σ(ai)xi∈L[x](\sigma f)(x) = \sum \sigma(a_i) x^i \in L[x]。
  3. 同态集合 (Set of Homomorphisms):
    从 EE 到 LL 的，且在 FF 上为恒等映射的（即 FF-嵌入）同态的集合，记为 HomF(E,L)\text{Hom}_F(E, L)。（这里用到下面的定义，即 E→LE \to L 是 F→LF \to L 的 extension）

定义：嵌入的延展 (Extension of Embedding)
设 F⊂EF \subset E 是一个域扩张，σ:F→L\sigma: F \to L 是一个嵌入。
σ‾:E→L\overline{\sigma}: E \to L 称为是 σ\sigma 的一个延展 (Extension)，如果 σ‾\overline{\sigma} 在 FF 上的限制等于 σ\sigma，即 σ‾∣F=σ\overline{\sigma}|_F = \sigma。

定义：F-嵌入 (F-embedding)
设 F⊂EF \subset E 是扩张，F‾\overline{F} 是 FF 的一个代数闭包。
一个嵌入 σ:E→F‾\sigma: E \to \overline{F}，如果它在 FF 上的限制是恒等映射 (Identity map, ι\iota)，即 σ∣F=ι\sigma|_F = \iota (对 ∀a∈F,σ(a)=a\forall a \in F, \sigma(a) = a)，则称 σ\sigma 是一个 FF-嵌入。

（根据我们上面的记号，σ∈HomF(E,F‾)\sigma \in \text{Hom}_F(E, \overline{F})）。

嵌入的性质

考虑一个单扩张 E=F(α)E = F(\alpha)，其中 α\alpha 在 FF 上代数。
设 σ:F(α)→F‾\sigma: F(\alpha) \to \overline{F} 是一个 FF-嵌入。
F(α)F(\alpha) 中的任意元素形如 ∑aiαi\sum a_i \alpha^i (ai∈Fa_i \in F)。

σ(∑aiαi)=∑σ(ai)σ(α)i=∑aiσ(α)i\sigma(\sum a_i \alpha^i) = \sum \sigma(a_i) \sigma(\alpha)^i = \sum a_i \sigma(\alpha)^i

这说明，σ\sigma 这个 FF-嵌入完全由 σ(α)\sigma(\alpha) 的值决定。

σ(α)\sigma(\alpha) 可以取什么值？

  • 设 p(x)=min⁡(α,F)∈F[x]p(x) = \min(\alpha, F) \in F[x] 是 α\alpha 在 FF 上的最小多项式。

  • p(x)=∑aixip(x) = \sum a_i x^i，ai∈Fa_i \in F。

  • 我们知道 p(α)=∑aiαi=0p(\alpha) = \sum a_i \alpha^i = 0。

  • 将 FF-嵌入 σ\sigma 应用于此等式：

    σ(p(α))=σ(0)=0\sigma(p(\alpha)) = \sigma(0) = 0

    σ(∑aiαi)=∑σ(ai)σ(α)i=∑aiσ(α)i=0\sigma(\sum a_i \alpha^i) = \sum \sigma(a_i) \sigma(\alpha)^i = \sum a_i \sigma(\alpha)^i = 0

  • 令 β=σ(α)\beta = \sigma(\alpha)。上式变为 ∑aiβi=p(β)=0\sum a_i \beta^i = p(\beta) = 0。

  • 结论：σ(α)\sigma(\alpha) 必须是 p(x)p(x) 在 F‾\overline{F} 中的一个根。

定理：单扩张的 F-嵌入 (Embeddings of Simple Extensions)
设 F⊂F(α)F \subset F(\alpha) 是一个代数扩张， p(x)=min⁡(α,F)p(x) = \min(\alpha, F) 是 α\alpha 的最小多项式。

  1. F→F‾F \to \overline{F} 的恒等嵌入 ι\iota，可以被延展 (extend) 为一个 FF-嵌入 σ:F(α)→F‾\sigma: F(\alpha) \to \overline{F}。
  2. σ(α)\sigma(\alpha) 必须是 p(x)p(x) 在 F‾\overline{F} 中的一个根 β\beta。
  3. 反过来，对于 p(x)p(x) 在 F‾\overline{F} 中的任意一个根 β\beta，都唯一存在一个 FF-嵌入 σ:F(α)→F‾\sigma: F(\alpha) \to \overline{F} 使得 σ(α)=β\sigma(\alpha) = \beta。
  4. 因此，从 F(α)F(\alpha) 到 F‾\overline{F} 的 FF-嵌入的个数（即 ∣HomF(F(α),F‾)∣|\text{Hom}_F(F(\alpha), \overline{F})|），等于 p(x)p(x) 在 F‾\overline{F} 中的不同根的个数。

证明 (第3点)：

  • 我们知道存在一个 FF-同构：

    F(α)≅F[x]/⟨p(x)⟩F(\alpha) \cong F[x] / \langle p(x) \rangle

    这个同构 ϕ:F[x]/⟨p(x)⟩→F(α)\phi: F[x] / \langle p(x) \rangle \to F(\alpha) 由 ϕ(x+⟨p(x)⟩)=α\phi(x + \langle p(x) \rangle) = \alpha 决定。
  • 设 β∈F‾\beta \in \overline{F} 是 p(x)p(x) 的任意一个根。
  • 我们定义一个求值同态 (evaluation homomorphism) ψβ:F[x]→F‾\psi_\beta: F[x] \to \overline{F}，定义为 ψβ(f(x))=f(β)\psi_\beta(f(x)) = f(\beta)。
  • 因为 p(β)=0p(\beta) = 0，所以 p(x)∈ker⁡(ψβ)p(x) \in \ker(\psi_\beta)。因此 ⟨p(x)⟩⊂ker⁡(ψβ)\langle p(x) \rangle \subset \ker(\psi_\beta)。
  • 根据同态基本定理，ψβ\psi_\beta 诱导 (induce) 了一个同态 ψβ‾:F[x]/⟨p(x)⟩→F‾\overline{\psi_\beta}: F[x] / \langle p(x) \rangle \to \overline{F}。
  • 这个同态是单射（因为 ⟨p(x)⟩\langle p(x) \rangle 是极大理想）。
  • 我们所求的 FF-嵌入 σ\sigma 就是 ψβ‾∘ϕ−1\overline{\psi_\beta} \circ \phi^{-1}：

    σ:F(α)→ϕ−1F[x]/⟨p(x)⟩→ψβ‾F‾\sigma: F(\alpha) \xrightarrow{\phi^{-1}} F[x] / \langle p(x) \rangle \xrightarrow{\overline{\psi_\beta}} \overline{F}

  • 这个 σ\sigma 满足 σ(a)=a\sigma(a) = a (对 a∈Fa \in F) 且 σ(α)=β\sigma(\alpha) = \beta。

定理：代数扩张的嵌入延展 (Embedding Extension for Algebraic Extensions)
设 F⊂EF \subset E 是一个代数扩张，ι:F→F‾\iota: F \to \overline{F} 是 FF 到其代数闭包 F‾\overline{F} 的恒等嵌入。
那么 ι\iota 总可以被延展为一个嵌入 σ:E→F‾\sigma: E \to \overline{F}。
（这个定理的证明需要使用 Zorn 引理，此处略过。）

代数闭包的唯一性

定理：代数闭包的唯一性 (Uniqueness of Algebraic Closures)
FF 的任意两个代数闭包 KK 和 LL，都是 FF-同构的（Isomorphic over F）。
（即存在一个同构 σ:K→L\sigma: K \to L，使得 σ∣F=idF\sigma|_F = \text{id}_F）。

证明：

  • 设 KK 和 LL 都是 FF 的代数闭包。
  • 考虑 F⊂KF \subset K 这个代数扩张。
  • 考虑嵌入 ι:F→L\iota: F \to L（由于 LL 也是 FF 的代数闭包， F⊂LF \subset L）。注意 LL 本身是代数闭的。
  • 根据上一节的代数扩张的嵌入延展定理，存在一个 FF-嵌入 σ:K→L\sigma: K \to L。
  • 我们现在需要证明这个 FF-嵌入 σ\sigma 是一个同构（即满射）。
  • 令 K′=σ(K)⊂LK' = \sigma(K) \subset L。K′K' 是 KK 的一个同构像，所以 K′K' 也是一个代数闭域。
  • 我们有 F=σ(F)⊂K′⊂LF = \sigma(F) \subset K' \subset L。
  • 因为 LL 是 FF 的代数闭包，所以 F⊂LF \subset L 是代数扩张。
  • 这意味着 LL 中的每个元素在 FF 上代数，因此 LL 中的每个元素也必然在 K′K' 上代数（F⊂K′F \subset K'）。
  • 所以，K′⊂LK' \subset L 是一个代数扩张。
  • 但是 K′K' 已经是一个代数闭域了。一个代数闭域不存在任何非平凡的（proper）代数扩张（因为 K′K' 上的任何多项式 f(x)f(x) 都在 K′K' 中有根，如果 L≠K′L \neq K'，取 α∈L∖K′\alpha \in L \setminus K'，α\alpha 在 K′K' 上的最小多项式 p(x)p(x) 在 K′K' 中没有根，矛盾）。
  • 因此，唯一的可能是 L=K′=σ(K)L = K' = \sigma(K)。
  • σ\sigma 是满射，又因为它是嵌入（单射），所以 σ\sigma 是一个 FF-同构。