Galois理论-part2

Closed 性质与 Index

定义：完全 closed
$P$ 为 完全 closed，如果 $P$ 中所有元素都是闭元；$Q$ 为 完全 closed，如果 $Q$ 中所有元素都是闭元。

定义：index

$$index(P) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} (1_{P}: 0_{P}) \quad index(Q) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} (1_{Q}:0_{Q})$$

如果将 $P, Q$ 分别于域集合 $\mathcal{F}$ 以及伽罗瓦群集合 $\mathcal{G}$ 对应，那么应当有 $0_{Q}$ 为闭元，即有 $0_{Q}'^{*} = 1_{P}^{*} = 0_{Q}$。从而可以得到 $index(P), index(Q)$ 之间的关系：

$$index(P) = (1_{P}:0_{P}) \ge (0_{P}^{*}: 1_{P}^{*}) = (1_{Q}:0_{Q}) = index(Q)$$

定理
(1) 若 $index(Q) < \infty$ 或者 $index(P)<\infty$（即指数有限）$\Rightarrow Q$ 是 完全 Closed。
(2) 若 $index(P) < \infty$，并且 $0_{P}$ 是闭元 $\Rightarrow P$ 是 完全 Closed

说明

1. 因为 $index(Q)<index(P)$，因此 $index(Q)<\infty \lor index(P)<\infty \Rightarrow index(Q)<\infty$。由于之间认为 $0_{Q}$ 是闭元，以及闭元的有限扩张都是闭的，因此 $Q$ 是完全 Closed。
2. 同样利用“闭元的有限扩张都是闭的”这一性质，此时要担心的就是 $0_{P}$ 是否为闭元的问题。

由于我们通常都考虑有限扩张，从上面的讨论可知，如果 $0_{P}$ 也是闭元，那么 $P, Q$ 就都是完全 Closed，就会有比较好的性质。现在我们希望考虑 $(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ 是否为完全 Closed，这个时候就需要考虑两个条件：

1. 需要验证 $(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ 的 index 能够满足 $(P, Q)$ 中 degree-nonincreasing 的性质。满足了这一点，$\mathcal{F}, \mathcal{G}$ 的关系才能继续套用伽罗瓦连接的性质。
2. $F = fix(G_{F}(G))$，即使得 $1_{P}$ 为闭元

接下来我们先来验证第一条性质是否满足。

Degree Non-increasing (度的非增性)

考察域扩张链 $F < K < L < E$。我们希望首先证明 degree-non increasing。

定理

$$(G_K(E) : G_L(E)) \le [L : K]$$

证明推导：

定义映射 $\phi$：

$$\begin{aligned} \phi: G_K(E) &\rightarrow hom_K(L, E) \\ \sigma &\rightarrow \sigma|_L \end{aligned}$$

(即将 $E$ 上的自同构限制在 $L$ 上)

对于 $\sigma, \tau \in G_K(E)$，考察 $\phi(\sigma) = \phi(\tau)$

$$\begin{aligned} & \phi(\sigma) = \phi(\tau) \\ \iff & \sigma|_L = \tau|_L \\ \iff & \forall \alpha \in L, \sigma(\alpha) = \tau(\alpha) \\ \iff & \sigma^{-1}\tau(\alpha) = \alpha \\ \iff & \sigma^{-1}\tau \in G_L(E) \end{aligned}$$

即 $\sigma, \tau$ 属于 $G_L(E)$ 在 $G_K(E)$ 中的 同一左陪集。这说明 $\phi$ 在 $G_{L}(E)$ 的每个陪集上的值相同；在不同陪集上的值不同.

即：$Im(\phi)$ 的大小等于 $G_K(E)/G_L(E)$ 的陪集个数。

$$(G_K(E) : G_L(E)) = |Im(\phi)| \le \left\vert hom_{K}(L, E) \right\vert$$

我们已知 $K < L$ 有限可分时，有 $L = K(\alpha), \alpha \in L$，那么由代数扩张的延展定理，可以找到 $K$ -嵌入 $\sigma: K(\alpha) \hookrightarrow \bar{K}$。$\left\vert hom_{K}(L, \bar{K}) \right\vert$ 可以表示上述 $\sigma$ 的数量，同时存在数量关系：

$$\left\vert hom_{K}(L, \bar{K}) \right\vert = deg(\min_{}(\alpha, K)) = [K(\alpha): K] = [L: K]$$

结合上述两点：

$$(G_K(E) : G_L(E)) = |Im(\phi)| \le |hom_K(L, E)| \le \left\vert hom_{K}(L, \bar{K}) \right\vert = [L:K]$$

得证。

定理
设 $J < H < G_F(E)$，则：

$$[fix(J) : fix(H)] \le (H : J)$$

(课上不证)

Closed 与 Galois 扩张的关系

定理
$F$ 为 closed，即 $F = fix(G_F(E))$ $\iff$ $E / F$ 是有限伽罗瓦扩张

证明：
$\Rightarrow$：

• 假如 $F$ 是闭元，考虑 $\forall \alpha \in E \setminus F$，有 $[F(\alpha): F]<\infty$
• 利用闭元的有限扩张还是闭元的性质，得到 $F(\alpha)$ 是闭元。
• 再利用闭元度保持的性质，有 $[F(\alpha) :F] = (G_{F}(E): G_{F(\alpha)}(E))$，将其记为 $d$
• 设 $\sigma_1, \ldots \sigma_{d}$ 是 $G_{F}(E)/ G_{F(\alpha)}(E)$ 的一组完全代表系，即每个元素在不同的陪集中
• 由于 $\sigma_i$ 是 $E$ 的 $F$-自同构，因此 $\sigma_1(\alpha) , \ldots \sigma_{d}(\alpha)$ 都是 $\alpha$ 的共轭元
• 接下来希望证明 $\sigma_1(\alpha) , \ldots \sigma_{d}(\alpha)$ 两两互不相同
  • 如果 $\sigma_i(\alpha) = \sigma_j(\alpha) \Rightarrow \sigma_j^{-1}\sigma_i(\alpha) = \alpha \Rightarrow \sigma_j^{-1}\sigma_i \in G_{F(\alpha)}(E)$
  • 那么 $\sigma_i, \sigma_j$ 在同一陪集中，与假设矛盾
  • 因此 $\sigma_1(\alpha) , \ldots \sigma_{d}(\alpha)$ 为 $d$ 个不同的 $\alpha$ 的共轭元
• 而 $\alpha$ 共有 $d$ 个共轭元，因此 $\sigma_1(\alpha) , \ldots \sigma_{d}(\alpha)$ 为 $\alpha$ 的极小多形式 $p_{\alpha}(x)$ 的所有根
• $\forall i, \sigma_i(\alpha) \in E$，说明 $p_{\alpha}$ 在 $E$ 中分裂
• 所以 $E / F$ 是正规扩张
• 得到 $E / F$ 是有限伽罗瓦扩张

$\Leftarrow$：

• 假如 $E / F$ 是伽罗瓦扩张，记 $cl(F) = fix(G_{F}(E))$
• 由伽罗瓦连接的性质，有 $F\le cl(F)$ 以及 $G_{F}(E) = G_{cl(F)}(E)$
• 后续希望证明 $F = cl(F)$
• 考虑 $\forall \alpha \in cl(F)$，记 $\alpha$ 极小多项式为 $p(x)\in F[x]$
• 记 $p(x)$ 的任意某个根为 $\beta$
• 根据代数扩张的延展定理，知存在 $F$-嵌入 $\sigma: E \hookrightarrow \bar{F}$ 使得 $\sigma(\alpha) = \beta$
• 又因为 $E /F$ 是正规扩张，得到 $\sigma(E) = E$
• 因此 $\sigma \in G_{F}(E) \Rightarrow \sigma \in G_{cl(F)}(E)$ （利用了 $G_{F}(E) = G_{cl(F)}(E)$）
• 得到 $\sigma$ fixes $cl(F)$，从而 $\beta = \sigma(\alpha) = \alpha$
• $p(x)$ 任意根都为 $\alpha$
• 并且 $E / F$ 为可分扩张，$p(x)$ 无重根，因此 $p(x) = x - \alpha$
• $\therefore \alpha \in F \Rightarrow cl(F) = F$，$F$ 为闭元

Fundamental Theorem of Galois Theory (Galois 理论基本定理)

设 $F < E$ 为有限 Galois 扩张。

定理 (Galois Theory)

1. $F, E$ 的中间域 $\mathcal{F}$ 与 $G_F(E)$ 的子群 $\mathcal{G}$ 存在 一一对应 (互逆双射)。

2. 对于 $F < K < L < E$：

   $$[L : K] = (G_K(E) : G_L(E))$$

   对于 $J < H < G_F(E)$：

   $$(H : J) = [fix(J) : fix(H)]$$

   特别地：$[E : F] = |G_F(E)|$。

3. $F<L<E$，$L/F$ 是 Galois 扩张 $\iff G_L(E) \triangleleft G_F(E)$ (正规子群)。
   且此时：

   $$G_F(L) \cong G_F(E) / G_L(E)$$

例子：$E = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$

可以看出 $E$ 是多项式 $(x^2 - 2)(x^2 - 3)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域。这是一个 Galois 扩张。求： $G_{\mathbb{Q}}(E)$ 的子群及对应的中间域。

1. 基本参数
首先可以得到 $|G_{\mathbb{Q}}(E)| = [E : \mathbb{Q}] = 4$

2. 群元素
对于 $\forall f \in G_{\mathbb{Q}}(E)$，由代数扩张的延展的性质可知：
$f: \sqrt{2} \to \pm \sqrt{2} \quad \sqrt{3} \to \pm \sqrt{3}$

具体元素 $G_{\mathbb{Q}}(E) = \{id, \sigma, \tau, \sigma\tau\}$：

• $id$: 恒等
• $\sigma$: $\sqrt{2} \to -\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \to \sqrt{3}$
• $\tau$: $\sqrt{2} \to \sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \to -\sqrt{3}$
• $\sigma\tau$: $\sqrt{2} \to -\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \to -\sqrt{3}$

3. 子群与中间域对应

• 子群 $\{id\}$
  对应域 $E = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$

• 子群 $\lang \sigma\rang = \{id, \sigma\}$
  $\sigma$ fixes $\sqrt{3}$ $\Rightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \subseteq fix(\lang \sigma\rang)$
  计算次数：$[fix(\lang \sigma\rang) : \mathbb{Q}] = (G_{\mathbb{Q}}(E) : \lang \sigma\rang) = 4/2 = 2$
  同时 $[\mathbb{Q}(\sqrt{3}) : \mathbb{Q}] = 2$ $\Rightarrow fix(\lang \sigma\rang) = \mathbb{Q}(\sqrt{3})$

• 子群 $\lang \tau\rang = \{id, \tau\}$
  $\tau$ fixes $\sqrt{2}$ $\Rightarrow fix(\lang \tau\rang) = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$

• 子群 $\lang \sigma\tau\rang = \{id, \sigma\tau\}$
  $\sigma\tau$ fixes $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{6}$ $\Rightarrow fix(\lang \sigma\tau\rang) = \mathbb{Q}(\sqrt{6})$

正好 3 个中间域 (考试可能会考)。