群 (Group)

定义

一个非空集合 GG 连同上面的二元运算 ⋅\cdot (G×G→GG\times G \rightarrow G) 构成一个代数结构。(G,⋅)(G, \cdot ) 称为群，如果满足：

  1. 结合律： ∀α,β,γ∈G,(αβ)γ=α(βγ)\forall \alpha, \beta, \gamma \in G, \quad (\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)
  2. 幺元：∃ε∈G,∀α∈G,εα=αε=α\exists \varepsilon \in G, \quad \forall \alpha \in G, \quad \varepsilon \alpha = \alpha \varepsilon = \alpha
  3. 逆元：∀α∈G,∃β∈G,αβ=βα=ε\forall \alpha \in G, \quad \exists \beta \in G, \quad \alpha \beta = \beta \alpha = \varepsilon

有时候为了方便起见，记幺元 ε\varepsilon 为 11，逆元 β\beta 记为 α−1\alpha ^{-1}，以及省略运算直接称 GG 为群。

如果还满足：

  1. 交换性：∀α,β∈G,αβ=βα\forall \alpha, \beta \in G, \quad \alpha \beta = \beta \alpha

那么这个群称为阿贝尔群 (Abelian Group)。在阿贝尔群上，习惯把二元运算记为 ++，把幺元记为 00，α\alpha 的逆元记为 −α-\alpha。

性质与示例

  • 幂运算:
    • 定义 α0=def1\alpha ^{0} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} 1。
    • n>0,αn=defα⋅αn−1n>0, \alpha ^{n} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \alpha \cdot \alpha ^{n-1}。
    • n<0,αn=def(α−1)−nn<0, \alpha ^{n} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} (\alpha ^{-1})^{-n}。
    • 不难证明指数律成立：αn+m=αm⋅αn\alpha ^{n+m} = \alpha ^{m} \cdot \alpha ^{n}。
  • 常见的数论群:
    • (Z,+),(Q,+),(R,+)(\mathbb{Z}, +), (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +) 都是阿贝尔群。
    • (Q∗,⋅),(R∗,⋅)(\mathbb{Q}^{*}, \cdot ), (\mathbb{R}^{*}, \cdot ) 也是群，其中 Q∗=defQ∖{0}\mathbb{Q}^{*} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \mathbb{Q} \setminus \{ 0 \}。

模 nn 剩余类

模 nn 剩余类是群的一个经典且重要的例子。

  1. 在整数集 Z\mathbb{Z} 上定义等价关系: α∼β  ⟺  n∣(α−β)\alpha \sim \beta \iff n \mid (\alpha - \beta)，也记作 α≡β(modn)\alpha \equiv \beta \pmod{n}。
  2. 该等价关系将 Z\mathbb{Z} 划分为 nn 个等价类，记 iˉ={m∈Z∣m≡i(modn)}\bar{i} = \{ m \in \mathbb{Z} \mid m \equiv i \pmod{n} \}。
  3. 所有这些等价类的集合构成模 nn 剩余类集，记为 Zn={0ˉ,1ˉ,…,n−1‾}\mathbb{Z}_{n} = \{\bar{0}, \bar{1}, \ldots, \overline{n-1} \}。

加法群 (Zn,+)(\mathbb{Z}_n, +)

  • 定义: 在 Zn\mathbb{Z}_{n} 上定义加法运算：αˉ+βˉ=defα+β‾\bar{\alpha} + \bar{\beta} \overset{\text{def}}{=} \overline{\alpha + \beta}。
  • 良定义性: 首先需要验证该定义是合理的。即若 α′∼α,β′∼β\alpha' \sim \alpha, \beta' \sim \beta，则 α′+β′∼α+β\alpha' + \beta' \sim \alpha + \beta。经验证，此定义成立。
  • 构成群: (Zn,+)(\mathbb{Z}_n, +) 满足群的各项公理，构成一个阿贝尔群。

乘法群 (Zn∗,⋅)(\mathbb{Z}_n^*, \cdot)

  • 定义: 在 Zn\mathbb{Z}_n 上定义乘法运算：αˉ⋅βˉ=defα⋅β‾\bar{\alpha} \cdot \bar{\beta} \overset{\text{def}}{=} \overline{\alpha \cdot \beta}。
  • 性质:
    • 该定义同样是良定义的。
    • 乘法满足结合律和存在幺元 1ˉ\bar{1}。
    • 但逆元不一定存在。可以证明：αˉ∈Zn\bar{\alpha} \in \mathbb{Z}_n 存在乘法逆元   ⟺  gcd⁡(α,n)=1\iff \gcd(\alpha, n) = 1。
  • 构成群:
    • 为了构造乘法群，我们取 Zn\mathbb{Z}_n 中所有存在逆元的元素构成一个子集：Zn∗=def{αˉ∈Zn∣gcd⁡(α,n)=1}\mathbb{Z}_n^{*} \overset{\text{def}}{=} \{ \bar{\alpha} \in \mathbb{Z}_n \mid \gcd(\alpha, n) = 1 \}。
    • 那么 (Zn∗,⋅)(\mathbb{Z}_n^{*}, \cdot) 构成一个群，称为模 nn 乘法群。
    • 特别地，当 nn 为素数 pp 时，Zp∗={1ˉ,2ˉ,…,p−1‾}\mathbb{Z}_p^{*} = \{ \bar{1}, \bar{2}, \ldots, \overline{p-1} \}。

子群 (Subgroup)

定义

设 (G,⋅)(G, \cdot) 是一个群，HH 是 GG 的一个非空子集。如果 (H,⋅)(H, \cdot) 自身也构成一个群，那么称 HH 是 GG 的子群，记为 H<GH<G。

示例

(Z,+)<(Q,+)(\mathbb{Z}, +) < (\mathbb{Q}, +)

陪集与商集

若 H<GH<G，我们可以在 GG 上定义一个新的等价关系：

∀α,β∈G,α∼β  ⟺  α−1β∈H\forall \alpha, \beta \in G, \quad \alpha \sim \beta \iff \alpha ^{-1} \beta \in H

验证等价关系:

  • 自反性: α−1α=1∈H  ⟹  α∼α\alpha ^{-1} \alpha = 1 \in H \implies \alpha \sim \alpha。
  • 对称性: α∼β  ⟹  α−1β∈H  ⟹  (α−1β)−1=β−1α∈H  ⟹  β∼α\alpha \sim \beta \implies \alpha ^{-1} \beta \in H \implies (\alpha ^{-1} \beta )^{-1} = \beta ^{-1} \alpha \in H \implies \beta \sim \alpha。
  • 传递性: α∼β,β∼γ  ⟹  α−1β∈H,β−1γ∈H  ⟹  (α−1β)(β−1γ)=α−1γ∈H  ⟹  α∼γ\alpha \sim \beta, \beta \sim \gamma \implies \alpha ^{-1} \beta \in H, \beta ^{-1} \gamma \in H \implies (\alpha ^{-1} \beta)(\beta^{-1} \gamma) = \alpha^{-1}\gamma \in H \implies \alpha \sim \gamma。

由该等价关系导出的等价类被称为陪集。定义左陪集 αH=def{αh∣h∈H}\alpha H \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \alpha h | h \in H \}，可以证明 αH\alpha H 就是由所有与 α\alpha 等价的元素构成的集合。

证明:

  • [等价类 ⊆αH\subseteq \alpha H]: ∀β\forall \beta 属于 α\alpha 的等价类 ⇒α−1β∈H⇒β=α(α−1β)∈αH\Rightarrow \alpha^{-1}\beta \in H \Rightarrow \beta = \alpha(\alpha^{-1}\beta) \in \alpha H。
  • [αH⊆\alpha H \subseteq 等价类]: ∀β∈αH⇒β=αh\forall \beta \in \alpha H \Rightarrow \beta = \alpha h (对于某个 h∈Hh \in H) ⇒α−1β=h∈H⇒β\Rightarrow \alpha^{-1}\beta = h \in H \Rightarrow \beta 属于 α\alpha 的等价类。

所有左陪集的集合称为商集，记为 G/HG/H。G/HG/H 是 GG 的一个划分。

拉格朗日定理

  • 对于任意 α∈G\alpha \in G，陪集 αH\alpha H 与子群 HH 的大小相等，即 ∣αH∣=∣H∣|\alpha H| = |H|。
  • 由此可得拉格朗日定理:

    如果 GG 是一个有限群且 H<GH < G，那么 ∣H∣|H| 整除 ∣G∣|G|。

  • 商集的大小 ∣G/H∣|G/H| 称为 HH 在 GG 中的指数 (index)，记为 (G:H)=∣G∣/∣H∣(G:H) = |G|/|H|。

正规子群与商群

我们希望在商集 G/HG/H 上定义一个有效的二元运算 *。

  1. 提出候选定义
    最直观的想法是通过陪集的代表元 (representative) 来运算：

    (αH)∗(βH)=def(αβ)H(\alpha H) * (\beta H) \overset{\text{def}}{=} (\alpha \beta) H

  2. 分析核心问题：良定义性 (Well-definedness)
    该定义的关键在于，运算结果必须与代表元的选择无关。

    • 目标：我们需要证明，如果任取另外的代表元 α′∈αH\alpha' \in \alpha H 和 β′∈βH\beta' \in \beta H，最终的运算结果是相同的。即：

      α′β′H=αβH\alpha' \beta' H = \alpha \beta H

    • 等价目标：根据陪集的性质，上述等式成立的充要条件是元素 α′β′\alpha' \beta' 必须属于陪集 αβH\alpha \beta H。所以我们的目标转化为：

      证明对于任意 x∈αHx \in \alpha H 和 y∈βHy \in \beta H，乘积 xyxy 总是落在 αβH\alpha \beta H 这个集合中。

  3. 证明策略：使用集合乘积作为工具
    为了不必单独检验每一个元素，我们引入一个工具——集合乘积，它包含了所有可能的乘积结果：

    (αH)(βH)=def{xy∣x∈αH,y∈βH}(\alpha H)(\beta H) \overset{\text{def}}{=} \{ xy \mid x \in \alpha H, y \in \beta H \}

    现在，我们的“等价目标”就可以通过证明下面这个更强的集合等式来一次性完成：

    (αH)(βH)=αβH(\alpha H)(\beta H) = \alpha \beta H

    如果这个集合等式成立，那么根据定义，集合 (αH)(βH)(\alpha H)(\beta H) 中的每一个元素（即每一个可能的 α′β′\alpha'\beta'）都必定属于 αβH\alpha \beta H，我们的目标就达成了。

  4. 推导该集合等式成立的条件

    (αH)(βH)=(αβ)H  ⟺  α(Hβ)H=α(βH)(提出 α)  ⟺  HβH=βH(左乘 α−1)  ⟺  (β−1Hβ)H=H(左乘 β−1, 并利用 HH=H)  ⟺  β−1Hβ⊆H(因为幺元 1∈H)\begin{aligned} & (\alpha H) (\beta H) = (\alpha \beta) H \\ \iff & \alpha (H \beta) H = \alpha (\beta H) &&\text{(提出 } \alpha \text{)} \\ \iff & H \beta H = \beta H &&\text{(左乘 } \alpha^{-1} \text{)} \\ \iff & (\beta^{-1} H \beta) H = H &&\text{(左乘 } \beta^{-1} \text{, 并利用 } HH=H \text{)} \\ \iff & \beta^{-1} H \beta \subseteq H &&\text{(因为幺元 } 1 \in H \text{)} \end{aligned}

  5. 上面的最后一步 β−1Hβ⊆H\beta^{-1} H \beta \subseteq H 必须对任意的 β∈G\beta \in G 都成立。

    • 将此条件中的 β\beta 替换为 β−1\beta^{-1}，我们得到 (β−1)−1H(β−1)⊆H(\beta^{-1})^{-1} H (\beta^{-1}) \subseteq H，即 βHβ−1⊆H\beta H \beta^{-1} \subseteq H。
    • 对 βHβ−1⊆H\beta H \beta^{-1} \subseteq H 两边左乘 β−1\beta^{-1} 右乘 β\beta，得到 H⊆β−1HβH \subseteq \beta^{-1} H \beta。
    • 结合 β−1Hβ⊆H\beta^{-1} H \beta \subseteq H 和 H⊆β−1HβH \subseteq \beta^{-1} H \beta，我们最终得到条件 H=β−1HβH = \beta^{-1} H \beta。

定义：如果 H<GH<G，且 ∀β∈G\forall \beta \in G, 满足 β−1Hβ=H\beta^{-1}H\beta = H，那么 HH 称为正规子群，记为 H◃GH \triangleleft G。

  • 可以看出，如果群 GG 是可交换的（即为阿贝尔群），那么任意子群 HH 都是正规子群。
  • 当 HH 为正规子群时，(G/H,∗)(G/H, *) 就构成商群。

元素的阶 (Order)

∣G∣<∞,α∈G\left\vert G \right\vert < \infty, \alpha \in G，使得 αn=1\alpha ^{n} = 1 的最小正整数 nn 称为 α\alpha 的阶。

  • 性质: αm=αn⇒αm−n=1\alpha^m = \alpha^n \Rightarrow \alpha^{m-n} = 1。

循环群 (Cyclic Group)

给定一个群 (G,⋅)(G, \cdot) 和一个元素 α∈G\alpha \in G，集合 ⟨α⟩=def{αn∣n∈Z}\langle\alpha\rangle \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \alpha^n \mid n \in \mathbb{Z} \} 构成 GG 的一个子群，称为由 α\alpha 生成的循环群，α\alpha 称为生成元。

  • 如果 α\alpha 的阶是 nn，那么 ⟨α⟩={α0,α1,…,αn−1}\langle \alpha \rangle = \{ \alpha^0, \alpha^1, \ldots, \alpha^{n-1} \}。
  • 性质:
    • 若 ∣G∣=p|G| = p（p为素数），则 GG 必为循环群（由拉格朗日定理）。
    • 循环群的子群仍然是循环群。

群同态与群同构

定义

设 f:G→Hf: G \to H 是一个从群 GG 到群 HH 的映射。如果 ∀α,β∈G\forall \alpha, \beta \in G，都有 f(αβ)=f(α)f(β)f(\alpha\beta) = f(\alpha)f(\beta)，那么称 ff 是一个群同态。

  • 性质:
    • f(1G)=1Hf(1_G) = 1_H
    • f(α−1)=f(α)−1f(\alpha^{-1}) = f(\alpha)^{-1}
  • 如果同态映射 ff 是一个双射，则称 ff 是一个群同构 (Isomorphism)。

核 (Kernel)

同态 f:G→Hf: G \to H 的核 (kernel) 定义为：

ker⁡(f)=deff−1(1H)={α∈G∣f(α)=1H}\ker(f) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f^{-1}(1_H) = \{ \alpha \in G \mid f(\alpha) = 1_H \}

  • 可以证明 ker⁡(f)\ker(f) 是 GG 的一个正规子群 (ker⁡(f)◃G\ker(f) \triangleleft G)。

同构基本定理

定理: 若 f:G→Hf: G \to H 是一个群的满同态，则商群 G/ker⁡(f)G/\ker(f) 与 HH 同构。

G/ker⁡(f)≅HG/\ker(f) \cong H

这个同构关系由映射 φ:G/ker⁡(f)→H,α‾↦f(α)\varphi: G/\ker(f) \to H, \quad \overline{\alpha} \mapsto f(\alpha) 给出。

  • 证明思路:
    1. 证明 φ\varphi 是同态: φ(αˉβˉ)=φ(αβ‾)=f(αβ)=f(α)f(β)=φ(αˉ)φ(βˉ)\varphi(\bar{\alpha}\bar{\beta}) = \varphi(\overline{\alpha\beta}) = f(\alpha\beta) = f(\alpha)f(\beta) = \varphi(\bar{\alpha})\varphi(\bar{\beta})。
    2. 证明 φ\varphi 是单射 (单同态): 若 φ(αˉ)=φ(βˉ)\varphi(\bar{\alpha}) = \varphi(\bar{\beta})，则 f(α)=f(β)f(\alpha)=f(\beta)，推出 f(α−1β)=1Hf(\alpha^{-1}\beta) = 1_H，所以 α−1β∈ker⁡(f)\alpha^{-1}\beta \in \ker(f)，因此 αˉ=βˉ\bar{\alpha}=\bar{\beta}。
    3. 证明 φ\varphi 是满射 (满同态): 因为 ff 是满射，对任意 h∈Hh \in H，存在 α∈G\alpha \in G 使 f(α)=hf(\alpha)=h，则 φ(αˉ)=h\varphi(\bar{\alpha})=h。