理论分析

设

U(x)={U00<x<a0x<0,x>aU(x)=\begin{cases} U_0 &0<x<a \\ 0 &x<0,x>a \end{cases}

称为方势垒。现有粒子从左往右入射，能量为 EE，问粒子穿透势垒或被反射的概率是多少？

设 E<U0E<U_0

∂2ϕ∂x2+2mEℏϕ=0x<0,x>a∂2ϕ∂x2+2mℏ(E−U0)ϕ=00<x<a\begin{aligned} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}+ \frac{2mE}{\hbar}\phi=0 \quad x<0,x>a \\ \frac{\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}+\frac{2m}{\hbar}(E-U_0)\phi=0 \quad 0<x<a \end{aligned}

记 k2=2mEℏ2,k′2=2m(U0−E)ℏ2\displaystyle k^{2}=\frac{2mE}{\hbar^{2}},\quad k'^{2}=\frac{2m(U_0-E)}{\hbar^{2}}，则

∂2ϕ∂x2+k2ϕ=0x<0,x>a∂2ϕ∂x2−k′2ϕ=00<x<a\begin{aligned} \frac{\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}+k^{2}\phi=0 \quad & x<0,x>a \\ \frac{\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}-k'^{2}\phi=0 \quad & 0<x<a \end{aligned}

解为

ϕ1=Aeikx+A′e−ikxx<0ϕ2=Bek′x+B′e−k′x0<x<aϕ3=Ceikx+C′e−ikxx>a\begin{aligned} &\phi_1=Ae^{ikx}+A'e^{-ikx} \quad x<0\\ &\phi_2=Be^{k'x}+B'e^{-k'x} \quad 0<x<a \\ &\phi_3=Ce^{ikx}+C'e^{-ikx} \quad x>a \end{aligned}

由于 eikxe^{ikx} 表示从左到右的波，应该为入射波或者透射波；e−ikxe^{-ikx} 为从右到左的波，为反射波。因此从这一物理条件考虑，C′=0C'=0，即透射波不可能有从右到左的成分。

再考虑连续性条件，有

ψ1(0)=ψ2(0)→A+A′=B+B′ψ1′(0)=ψ2′(0)→ik(A−A′)=k′(B−B′)ψ2(a)=ψ3(a)→Bek′a+B′e−k′a=Ceikaψ2′(a)=ψ3′(a)→k′(Bek′a−B′e−k′a)=ikCeika\begin{aligned} & \psi_1(0)=\psi_2(0) \rightarrow A+A^{\prime}=B+B^{\prime} \\ & \psi_1^{\prime}(0)=\psi_2^{\prime}(0) \rightarrow i k\left(A-A^{\prime}\right)=k^{\prime}\left(B-B^{\prime}\right) \\ & \psi_2(a)=\psi_3(a) \rightarrow B e^{k^{\prime} a}+B^{\prime} e^{-k^{\prime} a}=C e^{i k a} \\ & \psi_2^{\prime}(a)=\psi_3^{\prime}(a) \rightarrow k^{\prime}\left(B e^{k^{\prime} a}-B^{\prime} e^{-k^{\prime} a}\right)=i k C e^{i k a} \end{aligned}

由这4条方程，最后可以将 CC 和 A′A' 都用 AA 表示出来，就可以求出反射率和透射率。
反射系数为

R=∣A′∣2∣A∣2=(k2+k′2)2sinh⁡2k′a(k2+k′2)2sinh⁡2k′a+4k2k′2R=\frac{\left\vert A' \right\vert^{2} }{\left\vert A \right\vert^{2} }=\frac{(k^{2}+k'^{2})^{2}\sinh ^{2}k'a}{(k^{2}+k'^{2})^{2}\sinh ^{2}k'a+4k^{2}k'^{2}}

透射系数

T=∣C∣2∣A∣2=4k2k′2(k2+k′2)2sinh⁡2k′a+4k2k′2T=\frac{\left\vert C \right\vert^{2} }{\left\vert A \right\vert^{2} }=\frac{4k^{2}k'^{2}}{(k^{2}+k'^{2})^{2}\sinh^{2} k'a+4k^{2}k'^{2}}

经验证，T+R=1T+R=1，粒子数守恒。

当 k′a≫1k'a\gg 1 时，经小量近似可以得到

T≈16EU0(1−EU0)e−2k′a=16EU0(1−EU0)exp⁡(−2ℏ2m(U0−E)a)T\thickapprox \frac{16E}{U_0}(1-\frac{E}{U_0})e^{-2k'a} = \frac{16E}{U_0}(1-\frac{E}{U_0})\exp (-\frac{2}{\hbar}\sqrt{2m(U_0-E)}a)

势垒越高，宽度越宽，穿透几率越小，但总有一定几率穿透，这一现象称为量子隧道效应
另外，量子隧道效应中透射系数 TT 对势垒的宽度 aa 与粒子质量 mm 的变化很敏感。

量子隧穿实例

核的 α\alpha 衰变

原子核的势垒高度高于 α\alpha 粒子的能量，但是根据量子隧穿，α\alpha 粒子有一定概率挣脱原子核的束缚，从而让原子核发生 α\alpha 衰变。