一维方势垒和隧道效应

理论分析

设

$U(x)=\begin{cases} U_0 &0<x<a \\ 0 &x<0,x>a \end{cases}$

称为方势垒。现有粒子从左往右入射，能量为 $E$ ，问粒子穿透势垒或被反射的概率是多少？

设 $E<U_0$

$\begin{aligned} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}+ \frac{2mE}{\hbar}\phi=0 \quad x<0,x>a \\ \frac{\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}+\frac{2m}{\hbar}(E-U_0)\phi=0 \quad 0<x<a \end{aligned}$

记 $\displaystyle k^{2}=\frac{2mE}{\hbar^{2}},\quad k'^{2}=\frac{2m(U_0-E)}{\hbar^{2}}$ ，则

$\begin{aligned} \frac{\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}+k^{2}\phi=0 \quad & x<0,x>a \\ \frac{\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}-k'^{2}\phi=0 \quad & 0<x<a \end{aligned}$

解为

$\begin{aligned} &\phi_1=Ae^{ikx}+A'e^{-ikx} \quad x<0\\ &\phi_2=Be^{k'x}+B'e^{-k'x} \quad 0<x<a \\ &\phi_3=Ce^{ikx}+C'e^{-ikx} \quad x>a \end{aligned}$

由于 $e^{ikx}$ 表示从左到右的波，应该为入射波或者透射波； $e^{-ikx}$ 为从右到左的波，为反射波。因此从这一物理条件考虑， $C'=0$ ，即透射波不可能有从右到左的成分。

再考虑连续性条件，有

$\begin{aligned} & \psi_1(0)=\psi_2(0) \rightarrow A+A^{\prime}=B+B^{\prime} \\ & \psi_1^{\prime}(0)=\psi_2^{\prime}(0) \rightarrow i k\left(A-A^{\prime}\right)=k^{\prime}\left(B-B^{\prime}\right) \\ & \psi_2(a)=\psi_3(a) \rightarrow B e^{k^{\prime} a}+B^{\prime} e^{-k^{\prime} a}=C e^{i k a} \\ & \psi_2^{\prime}(a)=\psi_3^{\prime}(a) \rightarrow k^{\prime}\left(B e^{k^{\prime} a}-B^{\prime} e^{-k^{\prime} a}\right)=i k C e^{i k a} \end{aligned}$

由这4条方程，最后可以将 $C$ 和 $A'$ 都用 $A$ 表示出来，就可以求出反射率和透射率。
反射系数为

$R=\frac{\left\vert A' \right\vert^{2} }{\left\vert A \right\vert^{2} }=\frac{(k^{2}+k'^{2})^{2}\sinh ^{2}k'a}{(k^{2}+k'^{2})^{2}\sinh ^{2}k'a+4k^{2}k'^{2}}$