波函数求解

列微分方程

有限深势井函数为

U(x)={U0∣x∣>a0∣x∣<aU(x)=\begin{cases} U_0 &\left\vert x \right\vert>a \\ 0 &\left\vert x \right\vert<a \end{cases}

势函数不显含时间，利用定态薛定谔方程

H^ϕ=Eϕ⇒(−ℏ22m+U(x))ϕ=Eϕ\hat{H}\phi=E\phi \Rightarrow (-\frac{\hbar^{2}}{2m}+U(x))\phi=E\phi

考虑势井内和势井外。在势井内

∂2ϕ∂x2+2mEℏ2ϕ=0∣x∣<a\frac{\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}+ \frac{2mE}{\hbar^{2}}\phi=0 \quad \left\vert x \right\vert <a

在势井外

∂2ϕ∂x2+2mℏ2(E−U0)ϕ=0∣x∣>a\frac{\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}+ \frac{2m}{\hbar^{2}}(E-U_0)\phi=0 \quad \left\vert x \right\vert >a

讨论 0<E<U00<E<U_0 的情况(束缚态)。设

k2=2mEℏ2,k′2=2m(U0−E)ℏ2k^{2}=\frac{2mE}{\hbar^{2}} ,\quad k'^{2}=\frac{2m(U_0-E)}{\hbar^{2}}

则

∂2ϕ∂x2+k2ϕ=0∣x∣<a∂2ϕ∂x2−k′2ϕ=0∣x∣>a\begin{aligned} \frac{\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}+k^{2}\phi =0 \quad&\left\vert x \right\vert<a \\ \frac{\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}-k'^{2}\phi=0 \quad&\left\vert x \right\vert >a \end{aligned}

考虑波函数不发散

解为

ϕ={Asin⁡(kx+δ)∣x∣<aBe−k′x+Cek′x∣x∣>a\phi=\begin{cases} A\sin (kx+\delta)\quad &\left\vert x \right\vert <a\\ Be^{-k'x}+Ce^{k'x} \quad&\left\vert x \right\vert>a \end{cases}

其中 A,B,C,δA,B,C,\delta 为待定常数。

由于波函数在 ∣x∣→∞\left\vert x \right\vert \rightarrow \infty 时不发散，∣x∣>a\left\vert x \right\vert >a 时的解可以写为

ϕ={Be−k′xx>aCek′xx<a\phi=\begin{cases} Be^{-k'x} \quad&x>a\\ Ce^{k'x} \quad&x<a \end{cases}

波函数连续性

在 x=±ax=\pm a 处波函数及其导数连续

Proof:

∂2ϕ(x)∂x2=−2mℏ2[E−U(x)]ϕ(x)\frac{\partial ^{2}\phi(x)}{\partial x^{2}}=-\frac{2m}{\hbar^{2}}[E-U(x)]\phi(x)

考虑在 x=ax=a 的邻域积分

lim⁡n→0+∫a−εa+ε∂2ϕ(x)∂x2dx=∫a−εa+ε−2mℏ2[E−U(x)]ϕ(x)dx\lim_{n \to 0^{+}}\int_{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon} \frac{\partial ^{2}\phi(x)}{\partial x^{2}}\mathrm{d}x =\int _{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon}-\frac{2m}{\hbar^{2}}[E-U(x)]\phi(x) \mathrm{d}x

⇒ϕ′(a+0+)−ϕ′(a−0−)=0\Rightarrow \phi'(a+0^{+})-\phi'(a-0^{-})=0

即波函数一阶导数连续，因而 ϕ(x)\phi(x) 也连续。

在 x=ax=a 处

{Asin⁡(ka+δ)=Be−k′akAcos⁡(ka+δ)=−k′Be−k′a⇒kcot⁡(ka+δ)=−k′\begin{cases} A\sin (ka+\delta)=Be^{-k'a}\\ kA\cos (ka+\delta)=-k'Be^{-k'a} \end{cases} \Rightarrow k\cot (ka+\delta)=-k'

在 x=−ax=-a 处

{Asin⁡(−ka+δ)=Ce−k′akAcos⁡(−ka+δ)=k′Ce−k′a⇒kcot⁡(−ka+δ)=k′\begin{cases} A\sin (-ka+\delta)=Ce^{-k'a} \\ kA\cos (-ka+\delta)=k'Ce^{-k'a} \end{cases} \Rightarrow k\cot (-ka+\delta)=k'

由于 k,k′,ak,k',a 都是由题目条件给定的，因此可以求出 δ\delta

{kcot⁡(ka+δ)=−k′kcot⁡(−ka+δ)=k′⇒cot⁡(ka+δ)=−cot⁡(−ka+δ)\begin{cases} k\cot (ka+\delta)=-k' \\ k\cot (-ka+\delta)=k' \end{cases} \Rightarrow \cot (ka+\delta)=-\cot (-ka+\delta)

解得

δ={nπ(n+12)πn=0,±1,±2⋯\delta=\begin{cases} n\pi \\ (n+\frac{1}{2})\pi \end{cases}\quad n=0,\pm 1,\pm 2\cdots

由于 nn 取不同的值对于波函数来说结果一样，因此此处取 n=0n=0。∴δ=0\therefore \delta=0 或 π/2\pi /2

若取 δ=0\delta=0，有

ϕ={Asin⁡kx∣x∣<aBe−k′xx>aCek′xx<−a\phi=\begin{cases} A\sin kx &\left\vert x \right\vert <a\\ Be^{-k'x} &x>a\\ Ce^{k'x} &x<-a \end{cases}

考虑由连续性得到的式子，可以得到 B=−CB=-C，即

ϕA={Asin⁡kx∣x∣<aBe−k′xx>a−Bek′xx<−a\phi_{A}=\begin{cases} A\sin kx &\left\vert x \right\vert<a \\ Be^{-k'x} &x>a\\ -Be^{k'x} &x<-a \end{cases}

宇称

宇称是函数在空间反演下表现出的特性。定义空间反演算符 P^\hat{P} 为: P^ψ(x)=ψ(−x)\hat{P}\psi(x)=\psi(-x)

如果 P^ψ(x)=ψ(−x)=ψ(x)\hat{P}\psi(x)=\psi(-x)=\psi(x)，称 ψ(x)\psi(x) 具有确定的偶宇称；如果 P^ψ(x)=ψ(−x)=−ψ(x)\hat{P}\psi(x)=\psi(-x)=-\psi(x)，称 ψ(x)\psi(x) 有确定的奇宇称。

因此在求解有限深势井薛定谔方程的时候，如果 δ=0\delta=0，则波函数有奇宇称；如果 δ=π/2\delta=\pi /2，则波函数有偶宇称。此时波函数中的未知数 A,BA,B 可以继续使用连续性条件加上归一化条件求出。

下面先考虑波函数有定态解的条件。
对于奇宇称 (δ=0\delta=0)，kcot⁡ka=−k′k\cot ka=-k'。令 u=ka,v=k′au=ka,v=k'a，则方程写为

ucot⁡u=−vu\cot u=-v

同时

u2+v2=(k2+k′2)a2=2mU0ℏ2a2u^{2}+v^{2}=(k^{2}+k'^{2})a^{2}=\frac{2mU_0}{\hbar^{2}}a^{2}

则可以通过作图的方式求出 uu 和 vv

从图中可以看出，当 2mU0a2ℏ2≥π24\displaystyle \frac{2mU_0a^{2}}{\hbar^{2}}\ge \frac{\pi^{2}}{4} 时，才有第一奇宇称的束缚态。

同理，对于偶宇称 (δ=π/2)(\delta=\pi /2)，ktan⁡ka=k′k \tan ka=k'。令 u=ka,v=k′au=ka,v=k'a，则方程写为

utan⁡u=uu \tan u=u

同时

u2+v2=2mU0ℏ2a2u^{2}+v^{2}=\frac{2mU_0}{\hbar^{2}}a^{2}

则同样可以通过作图的方式求出 uu 和 vv

可以看出无论 U0a2U_0a^{2} 多小，总存在一束缚态，因此对一维方势阱总存在一个偶宇称的束缚态（基态）