约定: 在本篇笔记中，除非特殊说明，我们讨论的环 RR 都是含幺交换环。

环的同构基本定理

对于一个映射 f:R→Sf: R \to S，使得 ∀α,β∈R\forall \alpha, \beta \in R，满足 f(α+β)=f(α)+f(β)f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)，以及 f(αβ)=f(α)f(β)f(\alpha \beta) = f(\alpha) f(\beta)，称 ff 为环同态。

首先，我们需要确认同态的核 (Kernel) 具有良好的结构。

性质: 环同态 f:R→Sf: R \to S 的核 ker⁡(f)={α∈R∣f(α)=0S}\ker(f) = \{ \alpha \in R \mid f(\alpha) = 0_S \} 是环 RR 的一个理想。

证明:

  1. 根据群同态的性质，我们已知 (ker⁡(f),+)(\ker(f), +) 是 (R,+)(R, +) 的一个加法子群。
  2. 我们需要验证吸收性。取任意 α∈ker⁡(f)\alpha \in \ker(f) 和任意 r∈Rr \in R。
    • f(αr)=f(α)f(r)=0S⋅f(r)=0Sf(\alpha r) = f(\alpha) f(r) = 0_S \cdot f(r) = 0_S。因此 αr∈ker⁡(f)\alpha r \in \ker(f)。
    • 同理可以验证 ra∈ker(f)ra \in ker(f) （这里即使不需要交换环依然成立）

因此，ker⁡(f)\ker(f) 是 RR 的一个理想。

环的同构基本定理

若 f:R→Sf: R \to S 是一个满同态，则存在一个唯一的环同构 φ\varphi 使得商环 R/ker⁡(f)R/\ker(f) 与环 SS 同构。

R/ker⁡(f)≅SR/\ker(f) \cong S

这个同构映射由 φ:R/ker⁡(f)→S\varphi: R/\ker(f) \to S 定义为 φ(αˉ)=f(α)\varphi(\bar{\alpha}) = f(\alpha)，其中 αˉ=α+ker⁡(f)\bar{\alpha} = \alpha + \ker(f)。

证明纲要:
这个定理的证明与群的第一同构基本定理非常相似。

  1. 双射: 这一点直接继承自群同态基本定理的证明。
  2. 保持加法: φ(αˉ+βˉ)=φ(α+β‾)=f(α+β)=f(α)+f(β)=φ(αˉ)+φ(βˉ)\varphi(\bar{\alpha} + \bar{\beta}) = \varphi(\overline{\alpha+\beta}) = f(\alpha+\beta) = f(\alpha)+f(\beta) = \varphi(\bar{\alpha}) + \varphi(\bar{\beta})。
  3. 保持乘法: φ(αˉ⋅βˉ)=φ(αβ‾)=f(αβ)=f(α)f(β)=φ(αˉ)φ(βˉ)\varphi(\bar{\alpha} \cdot \bar{\beta}) = \varphi(\overline{\alpha\beta}) = f(\alpha\beta) = f(\alpha)f(\beta) = \varphi(\bar{\alpha})\varphi(\bar{\beta})。

由于 φ\varphi 是保持两种运算的双射，因此它是一个环同构。

理想的运算与性质

理想的判定

要证明一个非空子集 I⊆RI \subseteq R 是环 RR 的理想，我们只需验证以下两条：

  1. 对减法封闭: ∀α,β∈I  ⟹  α−β∈I\forall \alpha, \beta \in I \implies \alpha - \beta \in I。
    • (这条性质保证了 (I,+)(I, +) 是 (R,+)(R,+) 的一个加法子群。)
  2. 吸收性: ∀a∈I,r∈R  ⟹  ar∈I\forall a \in I, r \in R \implies ar \in I。
    • (由于环是交换的，我们无需单独验证 ra∈Ira \in I。)

为什么不需验证其他性质？
因为 II 是 RR 的子集，环所要求的乘法结合律、分配律以及加法交换律等性质，对于 RR 中的所有元素都成立，自然也对 II 中的所有元素成立。这些性质可以直接从母环 RR 中继承，无需重复验证。

理想的运算

设 I,JI, J 是环 RR 的两个理想。

  • 交集 (Intersection): I∩JI \cap J 也是 RR 的一个理想。
    • 证明:
      1. ∀α,β∈I∩J  ⟹  α,β\forall \alpha, \beta \in I \cap J \implies \alpha, \beta 同时属于 II 和 JJ。因为 I,JI, J 都是理想，所以 α−β∈I\alpha - \beta \in I 且 α−β∈J\alpha - \beta \in J，故 α−β∈I∩J\alpha - \beta \in I \cap J。
      2. ∀r∈R,α∈I∩J  ⟹  rα∈I\forall r \in R, \alpha \in I \cap J \implies r\alpha \in I 且 rα∈Jr\alpha \in J，故 rα∈I∩Jr\alpha \in I \cap J。
  • 和 (Sum): I+J=def{i+j∣i∈I,j∈J}I+J \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ i+j \mid i \in I, j \in J \} 也是 RR 的一个理想。
    • 证明:
      1. 取任意元素 α=i1+j1\alpha = i_1+j_1 和 β=i2+j2\beta = i_2+j_2，其中 i1,i2∈I,j1,j2∈Ji_1,i_2 \in I, j_1,j_2 \in J。则 α−β=(i1−i2)+(j1−j2)\alpha - \beta = (i_1-i_2) + (j_1-j_2)。由于 I,JI, J 是理想，i1−i2∈I,j1−j2∈Ji_1-i_2 \in I, j_1-j_2 \in J，所以 α−β∈I+J\alpha-\beta \in I+J。
      2. 取任意元素 r∈Rr \in R，则 rα=r(i1+j1)=ri1+rj1r\alpha = r(i_1+j_1) = ri_1 + rj_1。由于 I,JI,J 是理想，ri1∈I,rj1∈Jri_1 \in I, rj_1 \in J，所以 rα∈I+Jr\alpha \in I+J。
  • 积 (Product): IJ=def{∑k=1nikjk∣n∈N,ik∈I,jk∈J}IJ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \sum_{k=1}^{n} i_k j_k \mid n \in \mathbb{N}, i_k \in I, j_k \in J \}（所有 ijij 形式元素的有限和构成的集合）也是 RR 的一个理想。
    • 说明: 仅仅定义为 {ij∣i∈I,j∈J}\{ij \mid i \in I, j \in J\} 是不够的，因为这个集合对加法可能不封闭。
    • 证明:
      1. 两个有限和的差依然是一个有限和，所以对减法封闭。
      2. ∀r∈R\forall r \in R，有 r⋅(∑ikjk)=∑(rik)jkr\cdot (\sum i_k j_k) = \sum (ri_k) j_k。因为 rik∈Iri_k \in I，所以整个和式仍在 IJIJ 的定义范围内。

理想的生成元

  • 生成的理想: 设 XX 是环 RR 的一个子集。由 XX 生成的理想，记作 ⟨X⟩\langle X \rangle，定义为包含 XX 的最小的理想。它等于所有包含 XX 的理想的交集。

  • 有限生成理想:

    • 如果 X={x1,…,xn}X = \{x_1, \dots, x_n\}，则记 ⟨X⟩=⟨x1,…,xn⟩\langle X \rangle = \langle x_1, \dots, x_n \rangle。
    • 单个生成元: ⟨x⟩=xR=def{xr∣r∈R}\langle x \rangle = xR \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ xr \mid r\in R \}。
      • 证明: 一方面，xRxR 自身是一个理想且包含 xx (取 r=1r=1)，所以 ⟨x⟩⊆xR\langle x \rangle \subseteq xR。另一方面，任何包含 xx 的理想 II 都必须包含所有 xrxr 形式的元素（吸收性），所以 xR⊆IxR \subseteq I。因此 xRxR 是最小的，⟨x⟩=xR\langle x \rangle = xR。
    • 多个生成元: ⟨x1,…,xn⟩=x1R+x2R+⋯+xnR=def{∑i=1nxiri∣ri∈R}\langle x_1, \dots, x_n \rangle = x_1R + x_2R + \dots + x_nR \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \sum_{i=1}^n x_i r_i \mid r_i \in R \}。

定义 (主理想, Principal Ideal)

由单个元素生成的理想 ⟨α⟩\langle \alpha \rangle 称为主理想。

并非所有理想都是主理想。

例子 1: Z[x]\mathbb{Z}[x] 中的非主理想

考虑环 R=Z[x]R = \mathbb{Z}[x]（整系数多项式环），以及理想 I={I = \{ 所有常数项为偶数的多项式 }\}。
可以证明 II 不是一个主理想。

  • 证明 (反证法):
    • 假设 I=⟨f(x)⟩I = \langle f(x) \rangle 是一个主理想。
    • 因为 2∈I2 \in I 且 x∈Ix \in I，所以 f(x)f(x) 必须同时整除 22 和 xx。
    • 在 Z[x]\mathbb{Z}[x] 环中，能整除 22 的多项式只有 ±1,±2\pm 1, \pm 2。能整除 xx 的多项式只有 ±1,±x\pm 1, \pm x。
    • 两者的公因子只有 ±1\pm 1。所以 f(x)=±1f(x) = \pm 1。
    • 如果 f(x)=±1f(x) = \pm 1，那么 ⟨f(x)⟩=Z[x]=R\langle f(x) \rangle = \mathbb{Z}[x] = R。
    • 但 I≠RI \neq R (例如 1∉I1 \notin I)，产生矛盾。因此 II 不是主理想。
  • 实际上，I=⟨2,x⟩I = \langle 2, x \rangle。
    • 证明: ⟨2,x⟩=2Z[x]+xZ[x]\langle 2, x \rangle = 2\mathbb{Z}[x] + x\mathbb{Z}[x]。任何一个该形式的元素 2g(x)+xh(x)2g(x) + xh(x)，其常数项为 2g(0)2g(0)，必然是偶数，所以 ⟨2,x⟩⊆I\langle 2, x \rangle \subseteq I。反之，任何 f(x)∈If(x) \in I，设 f(x)=anxn+⋯+a1x+a0f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0，其中 a0=2ka_0 = 2k。则 f(x)=x(anxn−1+⋯+a1)+2k∈xZ[x]+2Z[x]=⟨2,x⟩f(x) = x(a_n x^{n-1} + \dots + a_1) + 2k \in x\mathbb{Z}[x] + 2\mathbb{Z}[x] = \langle 2, x \rangle。所以 I⊆⟨2,x⟩I \subseteq \langle 2, x \rangle。

例子 2: Z[−10]\mathbb{Z}[\sqrt{-10}] 中的非主理想

考虑环 R=Z[−10]R = \mathbb{Z}[\sqrt{-10}]，理想 I=⟨2,4+−10⟩I = \langle 2, 4+\sqrt{-10} \rangle。这个理想也不是主理想。

  • 证明 (反证法):
    • 假设 I=⟨α⟩I = \langle \alpha \rangle。则 α∣2\alpha \mid 2 且 α∣(4+−10)\alpha \mid (4+\sqrt{-10})。
    • 利用范数 N(a+b−10)=a2+10b2N(a+b\sqrt{-10}) = a^2+10b^2，我们有 N(α)∣N(2)=4N(\alpha) \mid N(2) = 4 和 N(α)∣N(4+−10)=16+10=26N(\alpha) \mid N(4+\sqrt{-10}) = 16+10=26。
    • 因此 N(α)N(\alpha) 必须是 44 和 2626 的公因子，即 N(α)∣gcd⁡(4,26)=2N(\alpha) \mid \operatorname{gcd}(4, 26)=2。
    • 所以 N(α)N(\alpha) 只可能是 11 或 22。
    • 但方程 a2+10b2=2a^2+10b^2 = 2 在整数 a,ba,b 中无解。所以 N(α)≠2N(\alpha) \neq 2。
    • 唯一的可能是 N(α)=1N(\alpha)=1，这意味着 α\alpha 是一个单位 (unit)。
    • 如果 α\alpha 是单位，则 ⟨α⟩=R\langle \alpha \rangle = R。但 I≠RI \neq R (例如 1∉I1 \notin I)，产生矛盾。

理想的唯一分解

我们在之前的笔记中看到，在 Z[−5]\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] 这样的环中，元素的唯一因子分解性质失效了：6=2⋅3=(1+−5)(1−−5)6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})。虽然元素的唯一分解失败，但如果我们将视线转向理想，唯一分解的性质在某种程度上得以恢复。

在 Z[−5]\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] 中，可以证明 ⟨2⟩,⟨3⟩,⟨1±−5⟩\langle 2 \rangle, \langle 3 \rangle, \langle 1\pm\sqrt{-5} \rangle 这些主理想都不是素理想（更高级的概念），它们可以被进一步分解为更小的理想的乘积。
例如，可以证明：

  • ⟨2⟩=⟨2,1+−5⟩2\langle 2 \rangle = \langle 2, 1+\sqrt{-5} \rangle^2
  • ⟨3⟩=⟨3,1+−5⟩⟨3,1−−5⟩\langle 3 \rangle = \langle 3, 1+\sqrt{-5} \rangle \langle 3, 1-\sqrt{-5} \rangle
  • ⟨1+−5⟩=⟨2,1+−5⟩⟨3,1+−5⟩\langle 1+\sqrt{-5} \rangle = \langle 2, 1+\sqrt{-5} \rangle \langle 3, 1+\sqrt{-5} \rangle
  • ⟨1−−5⟩=⟨2,1+−5⟩⟨3,1−−5⟩\langle 1-\sqrt{-5} \rangle = \langle 2, 1+\sqrt{-5} \rangle \langle 3, 1-\sqrt{-5} \rangle

将主理想 ⟨6⟩\langle 6 \rangle 的两种元素分解相对应，我们得到：

⟨6⟩=⟨2⟩⟨3⟩=(⟨2,1+−5⟩2)⋅(⟨3,1+−5⟩⟨3,1−−5⟩)\langle 6 \rangle = \langle 2 \rangle \langle 3 \rangle = (\langle 2, 1+\sqrt{-5} \rangle^2) \cdot (\langle 3, 1+\sqrt{-5} \rangle \langle 3, 1-\sqrt{-5} \rangle)

⟨6⟩=⟨1+−5⟩⟨1−−5⟩=(⟨2,1+−5⟩⟨3,1+−5⟩)⋅(⟨2,1+−5⟩⟨3,1−−5⟩)\langle 6 \rangle = \langle 1+\sqrt{-5} \rangle \langle 1-\sqrt{-5} \rangle = (\langle 2, 1+\sqrt{-5} \rangle \langle 3, 1+\sqrt{-5} \rangle) \cdot (\langle 2, 1+\sqrt{-5} \rangle \langle 3, 1-\sqrt{-5} \rangle)

可以看到，两种方式最终都将理想 ⟨6⟩\langle 6 \rangle 分解成了四个相同的理想因子的乘积。

核心思想: 在某些整环中（称为戴德金整环），虽然元素分解不唯一，但任何非零真理想都可以唯一地分解为素理想的乘积。

特殊的整环：ED, PID 和 UFD

根据理想和分解性质的强弱，我们可以对整环进行分类，形成一个重要的链式关系。

定义 (唯一分解整环, Unique Factorization Domain, UFD)

一个整环 RR 如果满足以下条件，则称为唯一分解整环：

  1. 存在性: 任何非零、非单位的元素都可以分解为有限个不可约元的乘积。
  2. 唯一性: 这种分解在不计顺序和相伴的情况下是唯一的。即若 α=p1⋯pn=q1⋯qm\alpha = p_1 \cdots p_n = q_1 \cdots q_m，则必有 n=mn=m，且经过适当重排后， pip_i 与 qiq_i 相伴。

定义 (主理想整环, Principal Ideal Domain, PID)

如果一个整环 RR 的每一个理想都是主理想，则称 RR 为主理想整环。

定义 (欧几里得整环, Euclidean Domain, ED)

一个整环 RR 如果存在一个函数 v:R∖{0}→Nv: R \setminus \{0\} \to \mathbb{N}（称为欧几里得范数），满足：

  1. ∀r∈R∖{0}\forall r \in R \setminus \{ 0 \}，有 v(r)≥0v(r) \ge 0
  2. ∀a,b∈R\forall a, b \in R 且 b≠0b \neq 0，存在 q,r∈Rq, r \in R 使得 a=bq+ra = bq+r，其中 r=0r=0 或者 v(r)<v(b)v(r) < v(b)。（带余除法）

关系与例子

这三类整环有一个非常清晰的包含关系：

欧几里得整环 (ED)  ⟹  主理想整环 (PID)  ⟹  唯一分解整环 (UFD)\text{欧几里得整环 (ED)} \implies \text{主理想整环 (PID)} \implies \text{唯一分解整环 (UFD)}

  • ED   ⟹  \implies PID:
    • 证明思路: 任意取一个非零理想 II。在 II 中找到一个范数 vv 最小的非零元素 dd。利用带余除法可以证明，II 中任何元素 aa 除以 dd 的余数必定是 00，否则会找到一个范数更小的非零元素，与 dd 的选择矛盾。因此 I=⟨d⟩I = \langle d \rangle。
    • 证明：记 RR 为一个欧几里得整环，考虑任意理想 I⊆RI \subseteq R
      由于 ∀r∈R∗\forall r \in R^{*}，有 v(r)≥0v(r)\ge 0
      因此 ∃d∈I∗\exists d \in I^{*}，使得 ∀x∈I∗,v(d)≤v(x)\forall x \in I^{*}, v(d)\le v(x)
      根据欧几里得整环定义，∃q,r∈R\exists q, r \in R，使得 ∀x∈I\forall x \in I，有 x=dq+rx = dq + r，且 r=0r=0 或者 v(r)<v(d)v(r) < v(d)
      综合上述两条，得到 r=0r=0，即 d∣xd \mid x 或 x=0x = 0
      即 x∈⟨d⟩⇒I⊆⟨d⟩x \in \langle d \rangle \Rightarrow I \subseteq \langle d \rangle
      同时 d∈Id \in I，⟨d⟩\langle d \rangle 是最小的包含 dd 的理想，因此 ⟨d⟩⊆I\langle d \rangle \subseteq I
      得到 ⟨d⟩=I\langle d \rangle = I
      即任意理想 II 都能找到单个生成元 dd
      所以 RR 是主理想整环
  • PID   ⟹  \implies UFD:
    • 证明思路: 这是三者关系中证明最复杂的一步。关键在于证明在 PID 中，任何不可约元都是素元，这保证了分解的唯一性。

    1. 先证明主理想整环中的不可约元等同于素元：

      1. 素元 ⇒\Rightarrow 不可约元：
        对于一个素元 pp，假设 p=ab⇒p∣a∨p∣bp = ab \Rightarrow p \mid a \lor p \mid b
        不失一般性，假设 p∣ap \mid a，那么 ∃c∈R\exists c \in R 使得 a=pca = pc
        带入 p=ab⇒p=pcb⇒p(1−bc)=0p = ab \Rightarrow p = pcb \Rightarrow p(1-bc) = 0
        根据整环性质，有 1−bc=0⇒bc=11-bc = 0 \Rightarrow bc=1
        所以 bb 是单位元，得到 pp 是不可约元
      2. 不可约元 ⇒\Rightarrow 素元：
        对于一个不可约元 pp，假如 p∣abp \mid ab，我们希望证明 p∣a∨p∣bp \mid a \lor p\mid b
        假设 p∤ap \nmid a，希望证明 p∣bp \mid b
        考虑理想 ⟨p,a⟩\langle p, a \rangle
        由于 RR 是 PID，因此 ∃d∈R\exists d \in R 使得 ⟨d⟩=⟨p,a⟩\langle d \rangle = \langle p, a \rangle，得到 d∣p,d∣ad \mid p, d \mid a
        考虑到 pp 是不可约元且 p∤ap \nmid a，所以 d=±1d = \pm 1
        所以 ⟨p,a⟩=⟨d⟩=R⇒∃s,r∈R\langle p, a \rangle = \langle d \rangle = R \Rightarrow \exists s, r\in R 使得 ps+ar=1ps+ar=1
        ⇒psb+rab=b\Rightarrow psb + rab = b
        而 p∣psbp \mid psb，且 p∣ab⇒p∣rabp\mid ab \Rightarrow p \mid rab，因此 p∣bp \mid b
        得证

    2. 接下来证明分解是唯一的：
      对于 x∈Rx\in R，假如

      x=p1p2⋯pn=q1q2⋯qmx = p_1 p_2 \cdots p_n = q_1 q_2 \cdots q_m

      其中 p1,p2,…,pn,q1,q2,…qmp_1, p_2, \ldots ,p_n, q_1, q_2, \ldots q_m 都是不可约元，由上面的证明，知这些也是素元。不妨设 n≤mn\le m。
      考虑 p1p_1，由于 p1∣q1q2⋯qmp_1 \mid q_1 q_2 \cdots q_m，利用素元定义，知 p1∣q1∨p1∣q2∨⋯∨p1∣qmp_1 \mid q_1 \lor p_1 \mid q_2 \lor \cdots \lor p_1 \mid q_m
      假设 p1∣qjp_1 | q_j，由于 qjq_j 也是素元，因此 p1=u1qjp_1 = u_1 q_j
      对 q1,q2,…,qmq_1, q_2, \ldots ,q_m 进行重排，使得 p1=u1q1p_1 = u_1 q_1
      由于 RR 是整环，因此消去 p1p_1，得到 p2⋯pn=u1q2⋯qmp_2 \cdots p_n = u_1 q_2 \cdots q_m

      • 假设 n<mn<m，同上操作，最后得到 1=u1⋯unqn+1⋯qm1 = u_1 \cdots u_n q_{n+1} \cdots q_m
        发现 qn+1,…,qmq_{n+1}, \ldots ,q_m 也应当是单位元，与不可约元性质矛盾
      • 因此 n=mn=m。同时根据上述重排步骤，可知 RR 是唯一分解整环
  • 例子:
    • ED: Z\mathbb{Z} (范数为绝对值), F[x]F[x] (域 FF 上的多项式环，范数为次数), Z[i]\mathbb{Z}[i] (高斯整数，范数为 a2+b2a^2+b^2)。
    • 是 PID 但不是 ED: 某些二次整数环，如 Z[1+−192]\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]。
    • 是 UFD 但不是 PID: Z[x]\mathbb{Z}[x] (我们已经看到它有非主理想 ⟨2,x⟩\langle 2, x \rangle，但可以证明它是 UFD), F[x,y]F[x,y] (二元多项式环)。
  • 最大公因子: 在 PID 中，两个元素 α,β\alpha, \beta 的最大公因子 d=gcd⁡(α,β)d=\operatorname{gcd}(\alpha,\beta) 存在，并且可以表示为它们的线性组合 d=rα+sβd = r\alpha + s\beta（贝祖等式）。这是因为理想 ⟨α,β⟩\langle \alpha, \beta \rangle 是主理想，其生成元就是 dd。

特殊的理想

定义：极大理想
RR 是整环。II 是 RR 的理想。II 称为极大理想，如果：

  1. I≠RI \neq R
  2. 如果有理想 J，I⊆J⊆RI \subseteq J \subseteq R，则 J=IJ=I 或 J=RJ=R

性质 1. RR 是 PID，I=⟨g⟩I = \langle g \rangle。I 是极大理想   ⟺  g\iff g 是不可约元。

Thm. II 是 RR 的极大理想   ⟺  R/I\iff R/I 是域。

定义：素理想
$ $ 是 RR 的素理想，如果：

  1. I≠RI \neq R
  2. ∀α,β∈R\forall \alpha, \beta \in R，αβ∈I\alpha \beta \in I，则 α∈I\alpha \in I or β∈I\beta \in I。

性质 1. RR 是整环。p∈Rp \in R。⟨p⟩\langle p \rangle 是素理想   ⟺  p\iff p 是素元。

Thm. II 是素理想   ⟺  R/I\iff R/I 是整环。

推论. 如果 RR 是整环，那么极大理想是素理想。