证明：对于一维粒子，设 ψ1(x)\psi_1(x) 和 ψ2(x)\psi_2(x) 均为定态方程的属于同一能量 EE 的解，则

ψ1dψ2dx−ψ2dψ1dx=Const （与 x 无关）\psi_1 \frac{\mathrm{d} \psi_2}{\mathrm{d} x}-\psi_2\frac{\mathrm{d} \psi_1}{\mathrm{d} x}=Const \text{ （与 $x$ 无关）}

按照薛定谔方程，可以得到

d2ψ1dx2+2mℏ2[E−V(x)]ψ1=0(1)\frac{\mathrm{d} ^{2}\psi_1}{\mathrm{d} x^{2}}+\frac{2m}{\hbar^{2}}[E-V(x)]\psi_1=0 \tag{1}

d2ψ2dx2+2mℏ2[E−V(x)]ψ2=0(2)\frac{\mathrm{d} ^{2}\psi_2}{\mathrm{d} x^{2}}+\frac{2m}{\hbar^{2}}[E-V(x)]\psi_2=0 \tag{2}

由 ψ2×(1)−ψ1×(2)\psi_2\times (1)-\psi_1\times (2)，得到

ψ2d2ψ1dx2−ψ1d2ψ2dx2=0⇔ddx(ψ2dψ1dx−ψ1dψ2dx)=0\psi_2\frac{\mathrm{d} ^{2}\psi_1}{\mathrm{d} x^{2}}-\psi_1\frac{\mathrm{d} ^{2}\psi_2}{\mathrm{d} x^{2}}=0 \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\psi_2\frac{\mathrm{d} \psi_1}{\mathrm{d} x}-\psi_1\frac{\mathrm{d} \psi_2}{\mathrm{d} x})=0

证明：一维运动的束缚定态都是不简并的

设 ψ1\psi_1 和 ψ2\psi_2 是定态方程属于本征能量 EE 的两个束缚态。对于束缚态，当 x→∞x \rightarrow \infty 时，有 ψ1,ψ2→0\psi_1,\psi_2 \rightarrow 0，

∴ψ1dψ2dx−ψ2dψ1dx=0\therefore \psi_1 \frac{\mathrm{d} \psi_2}{\mathrm{d} x}-\psi_2\frac{\mathrm{d} \psi_1}{\mathrm{d} x}=0

由上题结论，知各处的波函数都满足上式。则有

ψ1dψ2dx=ψ2dψ1dx\psi_1\frac{\mathrm{d} \psi_2}{\mathrm{d} x}=\psi_2\frac{\mathrm{d} \psi_1}{\mathrm{d} x}

在 ψ1≠0\psi_1\neq 0 且 ψ2≠0\psi_2\neq 0 的各处，有

1ψ1dψ1dx=1ψ2dψ2dx⇒ddx(ln⁡ψ1)=ddx(ln⁡ψ2)⇒ddx(ln⁡ψ2ψ1)=0\frac{1}{\psi_1}\frac{\mathrm{d} \psi_1}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{\psi_2}\frac{\mathrm{d} \psi_2}{\mathrm{d} x} \Rightarrow \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\ln \psi_1)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\ln \psi_2) \Rightarrow \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left( \ln \frac{\psi_2}{\psi_1} \right)=0

对 xx 积分可知，ln⁡(ψ2ψ1)=\displaystyle \ln \left( \frac{\psi_2}{\psi_1} \right) = 常数，所以 ψ2=cψ1\psi_2=c\psi_1，故 ψ1\psi_1 和 ψ2\psi_2 代表同一量子态。

注：对于不规则势，由于存在奇点，此结论不成立

证明：设 ψ(x)\psi(x) 是定态薛定谔方程的一个解，对应的能量本征值为 EE，则 ψ∗(x)\psi^{*}(x) 也是方程的一个解，对应的能量也是 EE。即能量 EE 可能是二重简并的。

定态薛定谔方程为

[−ℏ22md2dx2+V(x)]ψ(x)=Eψ(x)\left[ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}+V(x) \right]\psi(x)=E\psi(x)

对方程两侧取共轭，由于 E,VE,V 都为实数，因此

[−ℏ22md2dx2+V(x)]ψ∗(x)=Eψ∗(x)\left[ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}+V(x) \right]\psi^{*}(x)=E\psi^{*}(x)

说明 ψ∗\psi^{*} 也是方程的解，能量本征值还是 EE。

证明：一维束缚定态的波函数可以取为实函数

前面证明，一维运动的束缚定态都是不简并的，同时 ψ(x)\psi(x) 和 ψ∗(x)\psi^{*}(x) 都是能量 EE 的本征态，因此需要满足

ψ∗(x)=cψ(x)\psi^{*}(x)=c\psi(x)

式中 cc 为复常数。取复共轭，有

ψ(x)=c∗ψ∗(x)=∣c∣2ψ\psi(x)=c^{*}\psi^{*}(x)=\left\vert c \right\vert ^{2}\psi

∴∣c∣=1⇒c=eiα\therefore \left\vert c \right\vert =1 \Rightarrow c=e^{i\alpha}

取 α=0\alpha=0，则 ψ(x)=ψ∗(x)\psi(x)=\psi^{*}(x)，故 ψ(x)\psi(x) 可以取为实函数。

证明：设 V(x)V(x) 具有空间反射不变性，V(−x)=−V(x)V(-x)=-V(x)，如 ψ(x)\psi(x) 是定态薛定谔方程的属于能量为 EE 的解，则 ψ(−x)\psi(-x) 也是方程的相应于能量 EE 的解。

一维定态方程为

−ℏ22md2dx2ψ(x)+V(x)ψ(x)=Eψ(x)-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\psi(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x)

做空间反射变换，x→−xx \rightarrow -x，即：

−ℏ22md2d(−x)2ψ(−x)+V(−x)ψ(−x)=Eψ(−x)-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}(-x)^{2}}\psi(-x)+V(-x)\psi(-x)=E\psi(-x)

⇒−ℏ22md2dx2ψ(−x)+V(x)ψ(−x)=Eψ(−x)\Rightarrow -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\psi(-x)+V(x)\psi(-x)=E\psi(-x)

故 ψ(−x)\psi(-x) 也是能量 EE 对应的本征函数。

（注：这里既可能是简并情况，也可能是 ψ(x)=cψ(−x)\psi(x)=c\psi(-x)，两者是同一个态）

推论：若 V(x)=−V(x)V(x)=-V(x)，且定态薛定谔方程的解无简并（如处于束缚态），则解必然有确定的宇称

此时 ψ(x)\psi(x) 和 ψ(−x)\psi(-x) 表示同一个态，即

ψ(x)=cψ(−x)\psi(x)=c\psi(-x)

引入宇称算符 P^\hat{P}：P^f(r⃗)=f(−r⃗)\hat{P}f(\vec{r})=f(-\vec{r})。按照前面的讨论，有

P^ψ(x)=ψ(−x)=cψ(x)\hat{P}\psi(x)=\psi(-x)=c\psi(x)

⇒P^2ψ(x)=c2ψ(x)\Rightarrow\hat{P}^{2}\psi(x)=c^{2}\psi(x)

又根据已知

P^2ψ(x)=ψ(x)\hat{P}^{2}\psi(x)=\psi(x)

得到 c2=1c^{2}=1，c=±1c=\pm 1。取 c=1c=1，为偶宇称；取 c=−1c=-1，为奇宇称。