波函数求解

无限深势井势函数为

U(x)={0,(0<x<a)∞,(x≤0,x≥a)U(x)=\begin{cases} 0,&(0<x<a) \\ \infty,&(x\le 0,\quad x\ge a) \end{cases}

由于该势函数不显含时间，可以利用定态薛定谔方程求解。

Eϕ(x)=H^ϕ(x)E\phi(x)=\hat{H}\phi(x)

波函数的形式为 ψ(x,t)=ϕ(x)T(t)\psi(x,t)=\phi(x)T(t)，其中 T(t)=e−iEt/ℏT(t)=e^{- iEt / \hbar}。

对于定态薛定谔方程

Eϕ(x)=(−ℏ22m∂2∂x2+U(x))ϕ(x)E\phi(x)=(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}+U(x))\phi(x)

考虑势井内和势井外两种情况。在势井中，

ℏ22m∂2ϕ∂x2+Eϕ=0⇒ϕ=Acos⁡kx+Bsin⁡kx (k=2mEℏ2)\displaystyle \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}+E\phi=0 \Rightarrow \phi=A\cos kx+B\sin kx \ (k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}})

在势井外，ϕ=0\phi=0。

由于波函数的连续性，ϕ(0)=ϕ(a)=0\phi(0)=\phi(a)=0，即

{A=0Acos⁡ka+Bsin⁡ka=0⇒A=0,k=nπa\begin{cases} A=0 \\ A\cos ka+B\sin ka=0 \end{cases}\Rightarrow A=0,\quad k=\frac{n\pi}{a}

故

ϕ(x)=Bsin⁡nπax\phi(x)=B\sin \frac{n\pi}{a}x

再由归一化条件

∫−∞+∞∣ϕ(x)∣2dx=1⇒∫0aB2sin⁡2nπaxdx=1\int_{-\infty}^{+\infty}\left\vert \phi(x) \right\vert^{2} \mathrm{d}x=1 \Rightarrow \int_{0}^{a}B^{2}\sin ^{2} \frac{n\pi}{a}x \mathrm{d}x=1

解得

B=2aB=\sqrt{\frac{2}{a}}

∴ϕ(x)=2asin⁡nπax\therefore \phi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x

讨论

能量量子化

在求解的过程中，我们得到了 k=2mE/ℏ2k=\sqrt{2mE /\hbar^{2}}，而最后求解得到的结果则是 k=nπ/ak=n\pi /a，因此有

2mEℏ2=nπa⇒En=π2ℏ22ma2n2,n=1,2,3⋯\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}}=\frac{n\pi}{a} \Rightarrow E_{n}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}n^{2},\quad n=1,2,3\cdots

从这里可以看出能量量子化。

势井中驻波

Ψ(x,t)=Φ(x)e−iℏEt=2asin⁡kxe−iℏEt=12i2a(eikx−e−ikx)e−iℏEt=12i2a[e−iℏ(Et−px)−e−iℏ(Et+px)](k=pℏ)ka=nπ⇒2πλa=nπ⇒a=nλ2n=1,2,3⋯\begin{aligned} \Psi(x, t) & =\Phi(x) e^{-\frac{i}{\hbar} E t}=\sqrt{\frac{2}{a}} \sin k x e^{-\frac{i}{\hbar} E t} \\ & =\frac{1}{2 i} \sqrt{\frac{2}{a}}\left(e^{i k x}-e^{-i k x}\right) e^{-\frac{i}{\hbar} E t} \\ & =\frac{1}{2 i} \sqrt{\frac{2}{a}}\left[e^{-\frac{i}{\hbar}(E t-p x)}-e^{-\frac{i}{\hbar}(E t+p x)}\right] \quad\left(k=\frac{p}{\hbar}\right) \\ k a=n \pi & \Rightarrow \frac{2 \pi}{\lambda} a=n \pi \Rightarrow a=n \frac{\lambda}{2} \quad n=1,2,3 \cdots \end{aligned}

无限深势井薛定谔方程通解

通解可以写成定态解叠加的形式

ψ(x,t)=∑ncnψn(x,t)=∑ncnϕn(x)e−iℏEnt\psi(x,t)=\sum_{n}c_n\psi_{n}(x,t)=\sum_{n}c_n\phi_{n}(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_nt}

其中 cnc_n 称为展开系数。给定初始状态 ψ(x,0)\psi(x,0)，cnc_n 可以计算出来

cn=∫−∞+∞ϕn∗(x)ψ(x,0)dxc_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{n}^{*}(x)\psi(x,0)\mathrm{d}x

∣cn∣2\left\vert c_n \right\vert ^{2} 可以表示系统处于态 ψ(x,t)\psi(x,t) 对能量测量时，得到结果是 EnE_n 的概率。从另一个角度来说，Eˉ=∫−∞+∞ψ∗(x,t)H^ψ(x,t)dx=∑n=1∞∣cn∣2En\bar{E}=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x,t)\hat{H}\psi(x,t)\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^{\infty}\left\vert c_n \right\vert^{2} E_n。