不同力学量同时有确定值的条件

当体系处于力学量 FF 的本征态时，测量 FF 得到的是确定值，即该本征态对应的本征值。但如果在该状态下测量力学量 GG，并不一定能得到确定值。如果两个力学量有共同的本征态，且处于该本征态时，才能都得到确定值。

可以证明，F^\hat{F} 与 G^\hat{G} 对易 ⇒\Rightarrow 力学量 FF 和 GG 具有共同本征态。
如果一组算符有共同的本征函数，且这些本征函数组成完全系 ⇒\Rightarrow 这组算符中任意一个算符与其他所有算符对易。

如何完全确定系统状态

为完全确定状态所需的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。

假如有一组彼此独立相互对易的厄密算符 A^(A^1,A^2,…)\hat{A}(\hat{A}_{1},\hat{A}_{2}, \ldots )，根据上面的性质，它们有一组共同的本征函数 ϕn\phi_{n}，可以用这组本征函数确定体系的一个可能状态，那么 (A^1,A^2,…)(\hat{A}_{1},\hat{A}_{2}, \ldots ) 构成系统的一个力学量完全集。
力学量完全集包含的力学量数目等于体系的自由度。体系的任何状态都可以用力学量完全集所确定的本征函数系展开

ψ=∑nanϕn\psi=\sum_{n}a_n \phi_{n}

例如：
一维运动粒子波函数可以用动量本征态 ϕp∼eipx/ℏ\phi_{p}\sim e^{ipx /\hbar} 展开

ψ(x)=∫C(p)eipx/ℏdp2πℏ\psi(x)=\int C(p)e^{ipx /\hbar} \frac{\mathrm{d}p}{\sqrt{2\pi \hbar}}

故动量构成一维运动粒子的一个力学量完全集。如果是三维运动粒子，它的一个力学完全集可以是动量的三个分量 (px,py,pz)(p_{x},p_y,p_z)。

不确定度关系的说明

两个力学量 A^,B^\hat{A},\hat{B}，若彼此不对易 [A^,B^]≠0[\hat{A},\hat{B}]\neq 0，则一般不能同时有确定值。在任一量子态中，其测量值的不确定程度满足不确定度关系 ΔAΔB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣\displaystyle \Delta A \Delta B\ge \frac{1}{2}\left\vert \lang [\hat{A},\hat{B}]\rang \right\vert

ΔA,ΔB\Delta A,\Delta B 的定义：

(ΔA)2=∫ψ∗(A^−⟨A^⟩)2ψd3r=⟨ψ∣(A^−⟨A^⟩)2∣ψ⟩(\Delta A)^{2}=\int \psi^{*}(\hat{A}-\lang \hat{A} \rang)^{2} \psi \mathrm{d}^{3}r =\lang \psi|(\hat{A}-\lang \hat{A} \rang)^{2}|\psi \rang

(ΔB)2=∫ψ∗(B^−⟨B^⟩)2ψd3r=⟨ψ∣(B^−⟨B^⟩)2∣ψ⟩(\Delta B)^{2}=\int \psi^{*}(\hat{B}-\lang \hat{B} \rang)^{2} \psi \mathrm{d}^{3}r =\lang \psi|(\hat{B}-\lang \hat{B} \rang)^{2}|\psi \rang

其中 ΔA,ΔB\Delta A,\Delta B 分别是力学量 A^,B^\hat{A},\hat{B} 的方均根偏差，代表它们的不确定度，反映的是测量时的涨落。

例子：

∵[x,p^x]=iℏ∴ΔxΔpx≥ℏ2\because [x,\hat{p}_{x}]=i \hbar \quad \therefore \Delta x\Delta p_{x}\ge \frac{\hbar}{2}

验证了海森堡不确定性关系。